De verjaardagenparadox

De paradox

Vraag mensen hoeveel gasten een feest nodig heeft voordat er waarschijnlijk twee op dezelfde dag jarig zijn, en de meesten zeggen rond de 180, de helft van 365. Het echte antwoord is 23: dan is de kans 50,7%. Bij 57 gasten is het 99%. Het heet een paradox, niet omdat het tegenstrijdig is, maar omdat het zo lijnrecht ingaat tegen onze intuïtie.

Waarom onze intuïtie ons bedriegt

Als we in een kamer staan, denken we onbewust vanuit onszelf: wat is de kans dat iemand met mij een verjaardag deelt? Met 365 dagen is die kans klein. De paradox kijkt echter naar alle mogelijke koppels in de ruimte, niet naar een match met één bepaalde persoon: A en B, B en C, A en C, enzovoort. Bij 23 personen kun je 253 unieke koppels maken, en elk daarvan kan een gedeelde verjaardag hebben.

Koppels groeien kwadratisch

n mensen vormen n × (n − 1) / 2 koppels: 10 mensen vormen 45 koppels, 23 vormen er 253, 57 vormen er 1.596 en 100 vormen er 4.950. Elk koppel deelt een verjaardag met kans 1/365, dus 253 koppels geven gemiddeld 253/365 ≈ 0,69 gedeelde koppels. Verdubbel je de groep, dan verviervoudigen de koppels ongeveer, en daarom schiet de kans op een gedeelde verjaardag zo snel omhoog.

De berekening stap voor stap

De makkelijkste manier is de kans te berekenen dat niemand een verjaardag deelt, en die van 100% af te trekken. De eerste persoon claimt een willekeurige dag. De tweede persoon heeft een kans van 364/365 om niet op dezelfde dag jarig te zijn. De derde heeft een kans van 363/365 om af te wijken van de eerste twee, enzovoort. Voor 23 personen:

365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3%

Omdat de kans dat iedereen een unieke verjaardag heeft 49,3% is, blijft er voor de tegenovergestelde situatie, minstens één gedeelde verjaardag, een kans over van 100% − 49,3% = 50,7%.

Iemand die met jou jarig is

De kans dat iemand op jouw eigen verjaardag jarig is, is een andere vraag. Elk van de andere n − 1 mensen mist jouw verjaardag met kans 364/365, dus de kans dat iemand hem wel heeft is 1 − (364/365)ⁿ⁻¹. Bij 23 mensen is dat maar 5,9%, en je hebt 253 anderen nodig voordat het boven de 50% komt. Van de 253 koppels in een groep van 23 bevatten er maar 22 jou.

De wortelregel en birthday attacks

Bij N even waarschijnlijke waarden wordt een herhaling waarschijnlijk na ongeveer 1,2 × √N trekkingen: √365 ≈ 19, en 1,2 × 19 ≈ 23. Dat is cruciaal in de computerwetenschappen en IT-beveiliging. Hackers gebruiken zogeheten birthday attacks om twee invoeren met dezelfde cryptografische hash te vinden, een botsing of collision, bijvoorbeeld om een digitale handtekening te vervalsen. Dankzij de verjaardagenparadox hebben ze veel minder pogingen nodig dan je intuïtief zou verwachten: ongeveer 2⁶⁴ voor een hash van 128 bits in plaats van 2¹²⁸. Daarom hebben moderne hashes zoals SHA-256 een lange uitvoer.

Ontdek het in PictorX

Open de verjaardagenparadox en een groep van 23 mensen vormt zich op een cirkel, één persoon tegelijk. Elke nieuwkomer krijgt een lijn naar iedereen die er al is, en het onderschrift telt de koppels. Hun verjaardagen vallen op een kalender, en een dag met twee of meer licht op. Daaronder staat de berekening voor de groepsgrootte naast het aandeel geteste groepen met een gedeelde verjaardag, en de grafiek toont de kans voor elke groepsgrootte, voor twee willekeurige mensen en voor iemand die met jou jarig is. Voeg mensen één voor één toe, kies 2 tot 366 mensen, test tot 100.000 groepen met tot 10.000 per seconde, of test elke groepsgrootte en zie de stippen de curve volgen.