La paradoja del cumpleaños

La paradoja

Pregunta a la gente cuántos invitados necesita una fiesta para que dos de ellos probablemente cumplan años el mismo día, y la mayoría dirá unos 180, la mitad de 365. La respuesta real es 23: entonces la probabilidad es del 50,7 %. Con 57 invitados es del 99 %. Se llama paradoja no porque sea contradictoria, sino porque va muy en contra de nuestra intuición.

Por qué falla la intuición

En una sala razonamos inconscientemente desde nosotros mismos: ¿qué probabilidad hay de que alguien comparta mi cumpleaños? Con 365 días esa probabilidad es pequeña. Pero la paradoja trata de todas las parejas posibles de la sala, no de una coincidencia con una persona concreta: A y B, B y C, A y C, y así sucesivamente. Con 23 personas se pueden formar 253 parejas distintas, y cualquiera de ellas podría compartir cumpleaños.

Las parejas crecen con el cuadrado

n personas forman n × (n − 1) / 2 parejas: 10 personas forman 45 parejas, 23 forman 253, 57 forman 1596 y 100 forman 4950. Cada pareja comparte cumpleaños con probabilidad 1/365, así que 253 parejas dan de media 253/365 ≈ 0,69 parejas con cumpleaños compartido. Duplicar el grupo multiplica las parejas aproximadamente por cuatro, y por eso la probabilidad de un cumpleaños compartido se dispara.

El cálculo paso a paso

Lo más fácil es calcular la probabilidad de que nadie comparta cumpleaños y restarla del 100 %. La primera persona ocupa cualquier día. La segunda persona tiene una probabilidad de 364/365 de no tener el mismo cumpleaños. La tercera tiene una probabilidad de 363/365 de no coincidir con las dos primeras, y así sucesivamente. Para 23 personas:

365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3 %

Como la probabilidad de que todos tengan un cumpleaños distinto es del 49,3 %, el suceso contrario, al menos un cumpleaños compartido, tiene una probabilidad de 100 % − 49,3 % = 50,7 %.

Alguien con tu mismo cumpleaños

La probabilidad de que alguien comparta tu propio cumpleaños es otra cuestión. Cada una de las otras n − 1 personas no coincide con tu cumpleaños con probabilidad 364/365, así que la probabilidad de que alguien coincida es 1 − (364/365)ⁿ⁻¹. Con 23 personas es solo del 5,9 %, y necesitas a otras 253 personas para que supere el 50 %. Solo 22 de las 253 parejas de un grupo de 23 te incluyen.

La regla de la raíz cuadrada y los ataques de cumpleaños

Con N valores igual de probables, una repetición se vuelve probable tras unas 1,2 × √N extracciones: √365 ≈ 19, y 1,2 × 19 ≈ 23. Esto tiene mucha importancia en seguridad informática. Los atacantes usan ataques de cumpleaños para encontrar dos entradas con el mismo hash criptográfico, una colisión, por ejemplo para falsificar una firma digital. Gracias a la paradoja del cumpleaños necesitan muchos menos intentos de lo que sugiere la intuición: unos 2⁶⁴ para un hash de 128 bits en lugar de 2¹²⁸. Por eso los hashes modernos como SHA-256 tienen salidas largas.

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Abre la paradoja del cumpleaños y un grupo de 23 personas se forma en un círculo, una persona cada vez. Cada recién llegado añade una línea hacia cada persona que ya está, y el rótulo cuenta las parejas. Sus cumpleaños caen en un calendario, y un día con dos o más se ilumina. Debajo, el cálculo para el tamaño del grupo aparece junto a la proporción de grupos probados que tuvieron un cumpleaños compartido, y el gráfico muestra la probabilidad para cada tamaño de grupo, para dos personas cualesquiera y para alguien con tu mismo cumpleaños. Añade personas una a una, elige de 2 a 366 personas, prueba hasta 100 000 grupos a un ritmo de hasta 10 000 por segundo, o prueba todos los tamaños de grupo y mira cómo los puntos trazan la curva.