关于统计 | 平均数与中位数、方差和正态分布

平均数还是中位数？

平均数是把所有值相加再除以个数。中位数是排序后位于中间的值。对称数据中两者几乎相等，但少数极端值会把平均数拉过去，而中位数几乎不变。因此收入和房价通常用中位数报告：一位亿万富翁会抬高一个村子的平均收入，却不会改变中位数。

方差和标准差

两个班的平均分可能相同，但其中一个班的成绩参差得多。方差衡量的就是这种离散：取每个值与平均数的距离，平方以免正负距离相互抵消，再求这些平方的平均。由于平方会改变单位（厘米变成平方厘米），通常再开平方根。这就是标准差，即以原单位表示的与平均数的典型距离。

样本还是总体：为什么是 n - 1？

如果你的数据就是整个群体，把平方和除以 n，得到总体方差。但通常数据只是样本，你想估计更大群体的离散程度。样本自己的平均数总是最贴合样本，因此到它的距离会略偏小。用 n - 1 代替 n 来除，即贝塞尔校正，可以弥补这一点。样本很大时差别很小；只有五个值时相差 25%。

高斯与正态分布

大约在 1809 年，卡尔·弗里德里希·高斯用一条钟形曲线描述天文测量中的误差。只要许多微小而独立的影响叠加在一起，例如身高、测量误差和考试成绩，就会出现这种正态分布。它完全由平均数和标准差决定：约 68% 的值落在平均数一个标准差以内，95% 在两个以内，99.7% 在三个以内。如果你的直方图像一口钟，这些经验法则就适用。