Über Statistik | Mittelwert vs. Median, Varianz und Normalverteilung

Mittelwert oder Median?

Der Mittelwert addiert alle Werte und teilt durch ihre Anzahl. Der Median ist der mittlere Wert der sortierten Liste. Bei symmetrischen Daten sind beide fast gleich, doch wenige Extremwerte ziehen den Mittelwert zu sich, während sich der Median kaum bewegt. Deshalb werden Einkommen und Hauspreise meist als Median angegeben: Ein Milliardär hebt das mittlere Einkommen eines Dorfes, nicht aber den Median.

Varianz und Standardabweichung

Zwei Klassen können denselben Notenschnitt haben, obwohl eine viel gemischter ist. Die Varianz misst diese Streuung: Man nimmt den Abstand jedes Werts zum Mittelwert, quadriert ihn, damit sich negative und positive Abstände nicht aufheben, und mittelt die Quadrate. Weil das Quadrieren die Einheit ändert (Zentimeter werden zu Quadratzentimetern), zieht man meist die Wurzel. Das ist die Standardabweichung, ein typischer Abstand vom Mittelwert in der ursprünglichen Einheit.

Stichprobe oder Grundgesamtheit: warum n - 1?

Sind deine Zahlen die ganze Gruppe, teilst du die Quadratsumme durch n: Das ist die Varianz der Grundgesamtheit. Meist sind die Zahlen aber eine Stichprobe, und du willst die Streuung der größeren Gruppe schätzen. Der eigene Mittelwert der Stichprobe passt immer am besten zu ihr, daher fallen die Abstände etwas zu klein aus. Die Division durch n - 1 statt n, die Bessel-Korrektur, gleicht das aus. Bei großen Stichproben ist der Unterschied winzig, bei fünf Werten sind es 25 Prozent.

Gauß und die Normalverteilung

Um 1809 beschrieb Carl Friedrich Gauß Fehler astronomischer Messungen mit einer Glockenkurve. Diese Normalverteilung tritt auf, wenn sich viele kleine, unabhängige Einflüsse addieren, etwa bei Körpergrößen, Messfehlern und Prüfungsergebnissen. Sie ist durch Mittelwert und Standardabweichung vollständig bestimmt: Etwa 68 Prozent der Werte liegen innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert, 95 Prozent innerhalb von zwei und 99,7 Prozent innerhalb von drei. Sieht dein Histogramm wie eine Glocke aus, gelten diese Faustregeln.

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein Ausreißer?

Eine gängige Regel nennt einen Wert Ausreißer, wenn er mehr als das 1,5-Fache des Interquartilsabstands unter Q1 oder über Q3 liegt. Im Boxplot enden die Antennen beim letzten Wert in diesem Bereich, alles darüber hinaus erscheint als eigener Punkt.

Ist jede Datenreihe normalverteilt?

Nein. Wartezeiten, Einkommen und Dateigrößen sind meist schief und haben auf einer Seite einen langen Ausläufer. Dann liegt der Mittelwert neben dem Median, und die 68-95-99,7-Regel gilt nicht mehr. Ein Vergleich von Mittelwert und Median sowie ein Blick auf das Histogramm sind ein schneller erster Test.

Was sagt mir der Interquartilsabstand?

Der IQR ist Q3 minus Q1, die Breite der mittleren Hälfte deiner Daten. Wie der Median übergeht er die Extreme und ist daher ein robustes Streuungsmaß für schiefe Daten oder Daten mit Ausreißern, bei denen die Standardabweichung täuschen kann.