À propos des statistiques | Moyenne ou médiane, variance et loi normale

Moyenne ou médiane ?

La moyenne additionne toutes les valeurs et divise par leur nombre. La médiane est la valeur du milieu une fois la liste triée. Pour des données symétriques, elles sont presque égales, mais quelques valeurs extrêmes attirent la moyenne alors que la médiane bouge à peine. C'est pourquoi on donne souvent les revenus et les prix des logements en médiane : un milliardaire fait monter la moyenne d'un village, pas la médiane.

Variance et écart type

Deux classes peuvent avoir la même moyenne alors que l'une est bien plus hétérogène. La variance mesure cette dispersion : on prend l'écart de chaque valeur à la moyenne, on le met au carré pour que les écarts négatifs et positifs ne s'annulent pas, puis on fait la moyenne des carrés. Comme le carré change l'unité (les centimètres deviennent des centimètres carrés), on prend en général la racine. C'est l'écart type, une distance typique à la moyenne dans l'unité d'origine.

Échantillon ou population : pourquoi n - 1 ?

Si vos nombres forment tout le groupe, divisez la somme des carrés par n : c'est la variance de la population. Le plus souvent, pourtant, il s'agit d'un échantillon et vous voulez estimer la dispersion du groupe plus large. La moyenne de l'échantillon lui correspond toujours au mieux, donc les écarts à cette moyenne sont un peu trop petits. Diviser par n - 1 au lieu de n, la correction de Bessel, compense ce biais. Pour de grands échantillons, l'écart est minime ; pour cinq valeurs, il atteint 25 %.

Gauss et la loi normale

Vers 1809, Carl Friedrich Gauss utilisa une courbe en cloche pour décrire les erreurs des mesures astronomiques. Cette loi normale apparaît dès que de nombreux petits effets indépendants s'additionnent, comme pour les tailles, les erreurs de mesure et les notes d'examen. Elle est entièrement décrite par sa moyenne et son écart type : environ 68 % des valeurs sont à moins d'un écart type de la moyenne, 95 % à moins de deux et 99,7 % à moins de trois. Si votre histogramme ressemble à une cloche, ces règles s'appliquent.

Questions fréquemment posées

Qu'est-ce qu'une valeur aberrante ?

Une règle courante qualifie une valeur d'aberrante lorsqu'elle se trouve à plus de 1,5 fois l'écart interquartile sous Q1 ou au-dessus de Q3. Dans la boîte à moustaches, les moustaches s'arrêtent à la dernière valeur dans cette plage, et le reste est dessiné en points séparés.

Toutes les données suivent-elles une loi normale ?

Non. Les temps d'attente, les revenus et les tailles de fichiers sont généralement asymétriques, avec une longue traîne d'un côté. La moyenne s'écarte alors de la médiane et la règle 68-95-99,7 ne tient plus. Comparer moyenne et médiane et regarder l'histogramme est un premier contrôle rapide.

Que m'apprend l'écart interquartile ?

L'écart interquartile vaut Q3 moins Q1, la largeur de la moitié centrale des données. Comme la médiane, il ignore les extrêmes : c'est une mesure robuste de dispersion pour des données asymétriques ou avec des valeurs aberrantes, où l'écart type peut tromper.