平均、散らばり、正規分布
数値の並びは、それだけではなかなか何も語りません。中心を表す値と散らばりを表す値の 2、3 個があれば、たいてい必要なことはわかります。このページでは、それぞれの意味と使いどころを説明します。
平均値か中央値か
平均値はすべての値を足して個数で割ったものです。中央値は並べ替えたときの真ん中の値です。対称なデータでは両者はほぼ同じですが、少数の極端な値は平均値を引っ張り、中央値はほとんど動きません。収入や住宅価格がふつう中央値で示されるのはそのためです。億万長者が 1 人いれば村の平均収入は上がりますが、中央値は変わりません。
分散と標準偏差
2 つのクラスの平均点が同じでも、片方のほうがずっとばらついていることがあります。分散はその散らばりを表します。各値と平均の差を取り、正負が打ち消し合わないように 2 乗して、その平均を求めます。2 乗すると単位が変わる (センチメートルが平方センチメートルになる) ので、ふつうは平方根を取ります。これが標準偏差で、元の単位で表した平均からの典型的な距離です。
標本か母集団か: なぜ n - 1 なのか
数値が集団全体なら、平方和を n で割ります。これが母分散です。しかしたいていは標本で、より大きな集団の散らばりを推定したいはずです。標本自身の平均はいつもその標本に最もよく合うので、そこからの距離は少し小さめに出ます。n の代わりに n - 1 で割るベッセル補正が、そのずれを補います。標本が大きければ差はわずかですが、値が 5 個なら 25 パーセントになります。
ガウスと正規分布
1809 年ごろ、カール・フリードリヒ・ガウスは天文観測の誤差を釣り鐘形の曲線で表しました。この正規分布は、身長や測定誤差、試験の点数のように、小さく独立した多くの影響が足し合わされるところに現れます。平均と標準偏差だけで完全に決まり、値の約 68 パーセントが平均から標準偏差 1 つ分以内、95 パーセントが 2 つ分以内、99.7 パーセントが 3 つ分以内に入ります。ヒストグラムが釣り鐘形なら、この目安が当てはまります。
よくある質問
外れ値とは何ですか？
よく使われる規則では、Q1 より下、または Q3 より上に四分位範囲の 1.5 倍を超えて離れた値を外れ値とします。箱ひげ図のひげはその範囲内の最後の値で止まり、それより外側は別の点として描かれます。
すべてのデータは正規分布に従いますか？
いいえ。待ち時間、収入、ファイルサイズなどはふつう片側に長い裾を持つゆがんだ分布です。その場合、平均値は中央値から離れ、68-95-99.7 の規則は成り立ちません。平均値と中央値を比べ、ヒストグラムを見るのが手早い最初の確認です。
四分位範囲から何がわかりますか？
四分位範囲 (IQR) は Q3 から Q1 を引いた値で、データの真ん中半分の幅です。中央値と同じく極端な値の影響を受けないため、標準偏差が誤解を招きやすい、ゆがんだデータや外れ値を含むデータでも頑健な散らばりの尺度になります。
関連ツール
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