O statystyce | Średnia czy mediana, wariancja i rozkład normalny

Średnia czy mediana?

Średnia sumuje wszystkie wartości i dzieli przez ich liczbę. Mediana to środkowa wartość posortowanej listy. Przy danych symetrycznych są prawie równe, ale kilka skrajnych wartości przyciąga średnią, a mediana prawie się nie zmienia. Dlatego dochody i ceny domów podaje się zwykle jako medianę: jeden miliarder podnosi średni dochód wsi, ale nie medianę.

Wariancja i odchylenie standardowe

Dwie klasy mogą mieć tę samą średnią ocen, choć jedna jest dużo bardziej zróżnicowana. Wariancja mierzy ten rozrzut: bierzemy odległość każdej wartości od średniej, podnosimy ją do kwadratu, aby ujemne i dodatnie odległości się nie znosiły, i uśredniamy kwadraty. Ponieważ kwadrat zmienia jednostkę (centymetry stają się centymetrami kwadratowymi), zwykle bierzemy pierwiastek. To odchylenie standardowe, typowa odległość od średniej w pierwotnej jednostce.

Próba czy populacja: dlaczego n - 1?

Jeśli liczby to cała grupa, dzielisz sumę kwadratów przez n: to wariancja populacji. Zwykle jednak liczby są próbą i chcesz oszacować rozrzut większej grupy. Średnia z próby zawsze najlepiej do niej pasuje, więc odległości wychodzą nieco za małe. Dzielenie przez n - 1 zamiast przez n, czyli poprawka Bessela, to wyrównuje. Przy dużych próbach różnica jest znikoma; przy pięciu wartościach wynosi 25 procent.

Gauss i rozkład normalny

Około 1809 roku Carl Friedrich Gauss opisał błędy pomiarów astronomicznych krzywą w kształcie dzwonu. Rozkład normalny pojawia się wszędzie tam, gdzie sumuje się wiele małych, niezależnych wpływów, jak przy wzroście, błędach pomiaru i wynikach egzaminów. Opisują go w pełni średnia i odchylenie standardowe: około 68 procent wartości leży w odległości jednego odchylenia od średniej, 95 procent w odległości dwóch, a 99,7 procent trzech. Jeśli histogram przypomina dzwon, te reguły działają.

Często zadawane pytania

Co to jest wartość odstająca?

Popularna reguła uznaje wartość za odstającą, gdy leży o ponad 1,5 rozstępu międzykwartylowego poniżej Q1 lub powyżej Q3. Na wykresie pudełkowym wąsy kończą się na ostatniej wartości w tym zakresie, a reszta jest rysowana jako osobne punkty.

Czy wszystkie dane mają rozkład normalny?

Nie. Czasy oczekiwania, dochody i rozmiary plików są zwykle skośne, z długim ogonem po jednej stronie. Wtedy średnia oddala się od mediany, a reguła 68-95-99,7 przestaje działać. Porównanie średniej z medianą i rzut oka na histogram to szybki pierwszy test.

Co mówi rozstęp międzykwartylowy?

IQR to Q3 minus Q1, szerokość środkowej połowy danych. Podobnie jak mediana pomija skrajności, więc jest odporną miarą rozrzutu dla danych skośnych lub z wartościami odstającymi, gdzie odchylenie standardowe może mylić.