Sobre estadística | Media o mediana, varianza y distribución normal

¿Media o mediana?

La media suma todos los valores y divide entre cuántos hay. La mediana es el valor central de la lista ordenada. Con datos simétricos casi coinciden, pero unos pocos valores extremos arrastran la media mientras la mediana apenas cambia. Por eso los ingresos y los precios de vivienda suelen darse como mediana: un multimillonario sube la media de un pueblo, no la mediana.

Varianza y desviación típica

Dos clases pueden tener la misma nota media aunque una sea mucho más dispareja. La varianza mide esa dispersión: se toma la distancia de cada valor a la media, se eleva al cuadrado para que las distancias negativas y positivas no se anulen y se promedian los cuadrados. Como el cuadrado cambia la unidad (los centímetros pasan a centímetros cuadrados), normalmente se saca la raíz. Esa es la desviación típica, una distancia típica a la media en la unidad original.

Muestra o población: ¿por qué n - 1?

Si tus números son todo el grupo, divide la suma de cuadrados entre n: es la varianza poblacional. Pero casi siempre son una muestra y quieres estimar la dispersión del grupo mayor. La media de la propia muestra siempre es la que mejor se le ajusta, así que las distancias salen algo pequeñas. Dividir entre n - 1 en lugar de n, la corrección de Bessel, lo compensa. Con muestras grandes la diferencia es mínima; con cinco valores es del 25 %.

Gauss y la distribución normal

Hacia 1809 Carl Friedrich Gauss usó una curva en forma de campana para describir los errores de las mediciones astronómicas. Esta distribución normal aparece siempre que se suman muchos efectos pequeños e independientes, como en estaturas, errores de medida y notas de examen. Queda descrita por su media y su desviación típica: alrededor del 68 % de los valores está a menos de una desviación típica de la media, el 95 % a menos de dos y el 99,7 % a menos de tres. Si tu histograma parece una campana, se cumplen estas reglas.

Preguntas frecuentes

¿Qué es un valor atípico?

Una regla habitual considera atípico un valor que está más de 1,5 veces el rango intercuartílico por debajo de Q1 o por encima de Q3. En el diagrama de caja, los bigotes terminan en el último valor dentro de ese rango y lo demás se dibuja como puntos sueltos.

¿Todos los datos siguen una distribución normal?

No. Los tiempos de espera, los ingresos y los tamaños de archivo suelen ser asimétricos, con una cola larga a un lado. Entonces la media se aleja de la mediana y la regla 68-95-99,7 deja de cumplirse. Comparar media y mediana y mirar el histograma es una primera comprobación rápida.

¿Qué indica el rango intercuartílico?

El rango intercuartílico es Q3 menos Q1, la anchura de la mitad central de los datos. Como la mediana, ignora los extremos, así que es una medida robusta de dispersión para datos asimétricos o con atípicos, donde la desviación típica puede engañar.