Om statistik | Gennemsnit eller median, varians og normalfordelingen

Gennemsnit eller median?

Gennemsnittet lægger alle værdier sammen og dividerer med antallet. Medianen er den midterste værdi i den sorterede liste. Ved symmetriske data er de næsten ens, men få ekstreme værdier trækker gennemsnittet med sig, mens medianen knap rykker sig. Derfor opgives indkomster og huspriser oftest som median: én milliardær hæver en landsbys gennemsnitsindkomst, ikke medianen.

Varians og standardafvigelse

To klasser kan have samme gennemsnitskarakter, selv om den ene er langt mere blandet. Variansen måler den spredning: tag hver værdis afstand til gennemsnittet, kvadrér den, så negative og positive afstande ikke udligner hinanden, og tag gennemsnittet af kvadraterne. Fordi kvadrering ændrer enheden (centimeter bliver kvadratcentimeter), tager man som regel kvadratroden. Det er standardafvigelsen, en typisk afstand til gennemsnittet i den oprindelige enhed.

Stikprøve eller population: hvorfor n - 1?

Er dine tal hele gruppen, dividerer du kvadratsummen med n: det er populationsvariansen. Oftest er tallene dog en stikprøve, og du vil anslå spredningen i den større gruppe. Stikprøvens eget gennemsnit passer altid bedst til den, så afstandene bliver lidt for små. At dividere med n - 1 i stedet for n, Bessels korrektion, opvejer det. Ved store stikprøver er forskellen lille; ved fem værdier er den 25 procent.

Gauss og normalfordelingen

Omkring 1809 brugte Carl Friedrich Gauss en klokkeformet kurve til at beskrive fejl i astronomiske målinger. Normalfordelingen dukker op, når mange små, uafhængige påvirkninger lægges sammen, som ved højder, målefejl og eksamensresultater. Den er helt bestemt af gennemsnit og standardafvigelse: omkring 68 procent af værdierne ligger inden for én standardafvigelse fra gennemsnittet, 95 procent inden for to og 99,7 procent inden for tre. Ligner dit histogram en klokke, gælder disse tommelfingerregler.

Ofte stillede spørgsmål

Hvad er en outlier?

En almindelig regel kalder en værdi en outlier, når den ligger mere end 1,5 gange kvartilafstanden under Q1 eller over Q3. I boksplottet slutter knurhårene ved den sidste værdi inden for området, og resten tegnes som separate prikker.

Er alle data normalfordelte?

Nej. Ventetider, indkomster og filstørrelser er som regel skæve med en lang hale i den ene side. Så ligger gennemsnittet væk fra medianen, og 68-95-99,7-reglen holder ikke længere. At sammenligne gennemsnit og median og se på histogrammet er et hurtigt første tjek.

Hvad fortæller kvartilafstanden mig?

IQR er Q3 minus Q1, bredden af den midterste halvdel af dine data. Som medianen ser den bort fra yderværdierne og er derfor et robust spredningsmål for skæve data eller data med outliers, hvor standardafvigelsen kan vildlede.