Over statistiek | Gemiddelde of mediaan, variantie en de normale verdeling

Gemiddelde of mediaan?

Het gemiddelde telt alle waarden op en deelt door het aantal. De mediaan is de middelste waarde van de gesorteerde lijst. Bij symmetrische data liggen ze dicht bij elkaar, maar een paar uitschieters trekken het gemiddelde mee terwijl de mediaan nauwelijks verschuift. Daarom worden inkomens en huizenprijzen meestal als mediaan gegeven: één miljardair verhoogt het gemiddelde inkomen van een dorp, niet de mediaan.

Variantie en standaardafwijking

Twee klassen kunnen hetzelfde gemiddelde cijfer hebben terwijl de ene veel gemengder is. Variantie meet die spreiding: neem van elke waarde de afstand tot het gemiddelde, kwadrateer die zodat negatieve en positieve afstanden elkaar niet opheffen, en middel de kwadraten. Omdat kwadrateren de eenheid verandert (centimeters worden vierkante centimeters), neem je meestal de wortel. Dat is de standaardafwijking, een typische afstand tot het gemiddelde in de oorspronkelijke eenheid.

Steekproef of populatie: waarom n - 1?

Zijn je getallen de hele groep, dan deel je de som van de kwadraten door n: dat is de populatievariantie. Meestal zijn de getallen echter een steekproef en wil je de spreiding van de grotere groep schatten. Het eigen gemiddelde van de steekproef past er altijd het best bij, dus vallen de afstanden iets te klein uit. Delen door n - 1 in plaats van n, de Bessel-correctie, maakt dat goed. Bij grote steekproeven is het verschil piepklein, bij vijf waarden is het 25 procent.

Gauss en de normale verdeling

Rond 1809 gebruikte Carl Friedrich Gauss een klokvormige kromme om fouten in astronomische metingen te beschrijven. Deze normale verdeling duikt op zodra veel kleine, onafhankelijke invloeden bij elkaar optellen, zoals bij lichaamslengtes, meetfouten en examencijfers. Ze ligt helemaal vast door het gemiddelde en de standaardafwijking: ongeveer 68 procent van de waarden ligt binnen één standaardafwijking van het gemiddelde, 95 procent binnen twee en 99,7 procent binnen drie. Lijkt je histogram op een klok, dan gelden deze vuistregels.

Veelgestelde vragen

Wat is een uitschieter?

Een gangbare regel noemt een waarde een uitschieter als die meer dan 1,5 keer de interkwartielafstand onder Q1 of boven Q3 ligt. In de boxplot stoppen de snorharen bij de laatste waarde binnen dat bereik, en alles daarbuiten wordt als losse stip getekend.

Is alle data normaal verdeeld?

Nee. Wachttijden, inkomens en bestandsgroottes zijn meestal scheef, met een lange staart aan één kant. Dan ligt het gemiddelde naast de mediaan en geldt de 68-95-99,7-regel niet meer. Gemiddelde en mediaan vergelijken en naar het histogram kijken is een snelle eerste controle.

Wat zegt de interkwartielafstand?

De IQR is Q3 min Q1, de breedte van de middelste helft van je data. Net als de mediaan negeert hij de uitersten, dus is het een robuuste spreidingsmaat voor scheve data of data met uitschieters, waar de standaardafwijking kan misleiden.