Về thống kê | Trung bình hay trung vị, phương sai và phân phối chuẩn

Trung bình hay trung vị?

Trung bình là tổng mọi giá trị chia cho số lượng. Trung vị là giá trị ở giữa khi danh sách đã sắp xếp. Với dữ liệu đối xứng hai số gần như bằng nhau, nhưng vài giá trị cực đoan kéo trung bình về phía chúng trong khi trung vị hầu như không đổi. Vì thế thu nhập và giá nhà thường được báo bằng trung vị: một tỷ phú làm tăng thu nhập trung bình của cả làng, nhưng không làm tăng trung vị.

Phương sai và độ lệch chuẩn

Hai lớp có thể có cùng điểm trung bình dù một lớp chênh lệch nhiều hơn hẳn. Phương sai đo độ phân tán đó: lấy khoảng cách từ mỗi giá trị đến trung bình, bình phương để khoảng cách âm và dương không triệt tiêu nhau, rồi lấy trung bình các bình phương. Vì bình phương làm đổi đơn vị (xentimét thành xentimét vuông), người ta thường lấy căn bậc hai. Đó là độ lệch chuẩn, khoảng cách điển hình đến trung bình theo đơn vị gốc.

Mẫu hay tổng thể: vì sao n - 1?

Nếu dãy số là toàn bộ nhóm, chia tổng bình phương cho n: đó là phương sai tổng thể. Nhưng thường thì dãy số chỉ là mẫu, và bạn muốn ước lượng độ phân tán của nhóm lớn hơn. Trung bình của chính mẫu luôn khớp với mẫu nhất, nên khoảng cách đến nó hơi nhỏ. Chia cho n - 1 thay vì n, gọi là hiệu chỉnh Bessel, bù lại điều đó. Với mẫu lớn chênh lệch rất nhỏ; với năm giá trị là 25 phần trăm.

Gauss và phân phối chuẩn

Khoảng năm 1809, Carl Friedrich Gauss dùng một đường cong hình chuông để mô tả sai số trong các phép đo thiên văn. Phân phối chuẩn này xuất hiện bất cứ khi nào nhiều tác động nhỏ, độc lập cộng lại, như chiều cao, sai số đo và điểm thi. Nó được xác định hoàn toàn bởi trung bình và độ lệch chuẩn: khoảng 68 phần trăm giá trị nằm trong một độ lệch chuẩn quanh trung bình, 95 phần trăm trong hai và 99,7 phần trăm trong ba. Nếu biểu đồ tần suất của bạn trông như cái chuông, các quy tắc này áp dụng được.

Hỏi thường xuyên

Giá trị ngoại lai là gì?

Một quy tắc thông dụng coi một giá trị là ngoại lai khi nó nằm thấp hơn Q1 hoặc cao hơn Q3 quá 1,5 lần khoảng tứ phân vị. Trong biểu đồ hộp, râu dừng ở giá trị cuối cùng trong khoảng đó, phần còn lại được vẽ thành chấm riêng.

Có phải mọi dữ liệu đều phân phối chuẩn?

Không. Thời gian chờ, thu nhập và kích thước tệp thường lệch, với một đuôi dài ở một bên. Khi đó trung bình lệch khỏi trung vị và quy tắc 68-95-99,7 không còn đúng. So sánh trung bình với trung vị và xem biểu đồ tần suất là cách kiểm tra nhanh đầu tiên.

Khoảng tứ phân vị cho biết điều gì?

IQR là Q3 trừ Q1, độ rộng của nửa giữa dữ liệu. Giống trung vị, nó bỏ qua các giá trị cực đoan, nên là thước đo độ phân tán vững chắc cho dữ liệu lệch hoặc có ngoại lai, khi độ lệch chuẩn có thể gây hiểu lầm.