सांख्यिकी के बारे में | माध्य बनाम माध्यिका, प्रसरण और प्रसामान्य बंटन

माध्य या माध्यिका?

माध्य सभी मानों को जोड़कर उनकी संख्या से भाग देता है। माध्यिका क्रमबद्ध सूची का बीच वाला मान है। सममित डेटा में दोनों लगभग बराबर होते हैं, पर कुछ चरम मान माध्य को अपनी ओर खींच लेते हैं जबकि माध्यिका मुश्किल से हिलती है। इसीलिए आय और मकानों की कीमतें आमतौर पर माध्यिका में बताई जाती हैं: एक अरबपति गाँव की औसत आय बढ़ा देता है, माध्यिका नहीं।

प्रसरण और मानक विचलन

दो कक्षाओं का औसत अंक एक जैसा हो सकता है, फिर भी एक कहीं अधिक मिली-जुली हो। प्रसरण यही फैलाव मापता है: हर मान की माध्य से दूरी लें, उसका वर्ग करें ताकि ऋणात्मक और धनात्मक दूरियाँ एक-दूसरे को न काटें, और वर्गों का औसत निकालें। वर्ग करने से इकाई बदल जाती है (सेंटीमीटर वर्ग सेंटीमीटर बन जाते हैं), इसलिए आमतौर पर वर्गमूल लिया जाता है। यही मानक विचलन है, मूल इकाई में माध्य से एक सामान्य दूरी।

प्रतिदर्श या समष्टि: n - 1 क्यों?

अगर आपकी संख्याएँ पूरा समूह हैं, तो वर्गों के योग को n से भाग दें: यह समष्टि प्रसरण है। पर आमतौर पर संख्याएँ एक प्रतिदर्श होती हैं और आप बड़े समूह का फैलाव आँकना चाहते हैं। प्रतिदर्श का अपना माध्य उसमें हमेशा सबसे अच्छा बैठता है, इसलिए दूरियाँ थोड़ी कम निकलती हैं। n की जगह n - 1 से भाग देना, जिसे बेसेल सुधार कहते हैं, इसकी भरपाई करता है। बड़े प्रतिदर्श में अंतर बहुत छोटा है; पाँच मानों में यह 25 प्रतिशत है।

गॉस और प्रसामान्य बंटन

लगभग 1809 में कार्ल फ़्रीड्रिक गॉस ने खगोलीय मापों की त्रुटियों को घंटी जैसे वक्र से समझाया। यह प्रसामान्य बंटन तब दिखता है जब कई छोटे, स्वतंत्र प्रभाव जुड़ते हैं, जैसे लंबाई, माप त्रुटियाँ और परीक्षा के अंक। यह पूरी तरह माध्य और मानक विचलन से तय होता है: लगभग 68 प्रतिशत मान माध्य से एक मानक विचलन के भीतर, 95 प्रतिशत दो के भीतर और 99.7 प्रतिशत तीन के भीतर होते हैं। अगर आपका हिस्टोग्राम घंटी जैसा दिखे, तो ये नियम लागू होते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बाहरी मान (आउटलायर) क्या है?

एक आम नियम के अनुसार कोई मान बाहरी है अगर वह Q1 से नीचे या Q3 से ऊपर अंतर-चतुर्थक परिसर के 1.5 गुने से अधिक दूर हो। बॉक्स प्लॉट में मूँछें इस दायरे के अंतिम मान पर रुकती हैं, और उससे आगे के मान अलग बिंदु के रूप में दिखते हैं।

क्या सारा डेटा प्रसामान्य रूप से बँटा होता है?

नहीं। प्रतीक्षा समय, आय और फ़ाइलों के आकार आमतौर पर विषम होते हैं, एक तरफ़ लंबी पूँछ के साथ। तब माध्य माध्यिका से हट जाता है और 68-95-99.7 नियम लागू नहीं रहता। माध्य और माध्यिका की तुलना करना और हिस्टोग्राम देखना एक तेज़ पहली जाँच है।

अंतर-चतुर्थक परिसर क्या बताता है?

IQR, Q3 घटा Q1 है, यानी आपके डेटा के बीच वाले आधे हिस्से की चौड़ाई। माध्यिका की तरह यह चरम मानों को नज़रअंदाज़ करता है, इसलिए विषम डेटा या बाहरी मानों वाले डेटा के लिए यह फैलाव का मज़बूत माप है, जहाँ मानक विचलन भ्रामक हो सकता है।