عن الإحصاء | المتوسط أم الوسيط، التباين والتوزيع الطبيعي

المتوسط أم الوسيط؟

يجمع المتوسط كل القيم ويقسمها على عددها. والوسيط هو القيمة الوسطى بعد ترتيب القائمة. في البيانات المتماثلة يكادان يتساويان، لكن قيمًا متطرفة قليلة تجذب المتوسط نحوها بينما لا يكاد الوسيط يتحرك. لهذا تُعلن الدخول وأسعار المنازل عادة بالوسيط: فملياردير واحد يرفع متوسط دخل قرية لكنه لا يغيّر الوسيط.

التباين والانحراف المعياري

قد يكون لصفين المعدل نفسه بينما أحدهما أكثر تفاوتًا بكثير. يقيس التباين هذا التشتت: تأخذ بُعد كل قيمة عن المتوسط، وتربّعه حتى لا تلغي المسافات السالبة والموجبة بعضها، ثم تحسب متوسط المربعات. ولأن التربيع يغيّر الوحدة (السنتيمترات تصبح سنتيمترات مربعة)، نأخذ عادة الجذر التربيعي. هذا هو الانحراف المعياري، أي مسافة نموذجية عن المتوسط بالوحدة الأصلية.

العينة أم المجتمع: لماذا n - 1؟

إذا كانت أرقامك هي المجموعة كلها فاقسم مجموع المربعات على n: هذا هو تباين المجتمع. لكن الأرقام غالبًا عينة، وتريد تقدير تشتت المجموعة الأكبر. ومتوسط العينة نفسه هو الأنسب لها دائمًا، فتأتي المسافات أصغر قليلًا. والقسمة على n - 1 بدل n، وتُسمى تصحيح بيسل، تعوّض ذلك. في العينات الكبيرة يكون الفرق ضئيلًا، أما مع خمس قيم فيبلغ 25 بالمئة.

غاوس والتوزيع الطبيعي

نحو عام 1809 استخدم كارل فريدريش غاوس منحنى على شكل جرس لوصف أخطاء القياسات الفلكية. يظهر هذا التوزيع الطبيعي كلما اجتمعت تأثيرات صغيرة كثيرة ومستقلة، كما في الأطوال وأخطاء القياس ودرجات الامتحانات. ويتحدد بالكامل بالمتوسط والانحراف المعياري: نحو 68 بالمئة من القيم تقع ضمن انحراف معياري واحد عن المتوسط، و95 بالمئة ضمن اثنين، و99.7 بالمئة ضمن ثلاثة. إذا بدا مدرجك التكراري كالجرس فهذه القواعد تنطبق.

الأسئلة المتداولة

ما القيمة الشاذة؟

تقول قاعدة شائعة إن القيمة شاذة إذا ابتعدت أسفل Q1 أو أعلى Q3 بأكثر من 1.5 ضعف المدى الربيعي. في المخطط الصندوقي تتوقف الشعيرات عند آخر قيمة ضمن هذا المدى، ويُرسم ما بعده نقاطًا منفصلة.

هل تتبع كل البيانات التوزيع الطبيعي؟

لا. فأوقات الانتظار والدخول وأحجام الملفات تكون عادة ملتوية، بذيل طويل في جهة واحدة. عندها يبتعد المتوسط عن الوسيط ولا تعود قاعدة 68-95-99.7 صالحة. مقارنة المتوسط بالوسيط والنظر إلى المدرج التكراري فحص أولي سريع.

ماذا يخبرني المدى الربيعي؟

المدى الربيعي هو Q3 ناقص Q1، أي عرض النصف الأوسط من بياناتك. ومثل الوسيط يتجاهل القيم المتطرفة، لذا فهو مقياس متين للتشتت في البيانات الملتوية أو التي فيها قيم شاذة، حيث قد يضلل الانحراف المعياري.