Sobre estatística | Média ou mediana, variância e distribuição normal

Média ou mediana?

A média soma todos os valores e divide pelo seu número. A mediana é o valor do meio da lista ordenada. Com dados simétricos são quase iguais, mas alguns valores extremos puxam a média enquanto a mediana quase não se mexe. Por isso rendimentos e preços de casas costumam ser dados pela mediana: um multimilionário aumenta a média de uma aldeia, não a mediana.

Variância e desvio padrão

Duas turmas podem ter a mesma nota média e uma ser muito mais heterogénea. A variância mede essa dispersão: toma-se a distância de cada valor à média, eleva-se ao quadrado para que distâncias negativas e positivas não se anulem, e faz-se a média dos quadrados. Como o quadrado muda a unidade (centímetros passam a centímetros quadrados), costuma tirar-se a raiz. É o desvio padrão, uma distância típica à média na unidade original.

Amostra ou população: porquê n - 1?

Se os seus números são o grupo inteiro, divida a soma dos quadrados por n: é a variância da população. Normalmente, porém, são uma amostra e quer estimar a dispersão do grupo maior. A média da própria amostra é sempre a que melhor se lhe ajusta, por isso as distâncias saem um pouco pequenas. Dividir por n - 1 em vez de n, a correção de Bessel, compensa isso. Em amostras grandes a diferença é mínima; com cinco valores é de 25 %.

Gauss e a distribuição normal

Por volta de 1809, Carl Friedrich Gauss usou uma curva em sino para descrever os erros de medições astronómicas. Esta distribuição normal surge sempre que muitos efeitos pequenos e independentes se somam, como nas alturas, nos erros de medição e nas notas de exame. Fica totalmente descrita pela média e pelo desvio padrão: cerca de 68 % dos valores estão a menos de um desvio padrão da média, 95 % a menos de dois e 99,7 % a menos de três. Se o seu histograma parecer um sino, estas regras aplicam-se.

Perguntas frequentes

O que é um valor atípico?

Uma regra comum considera atípico um valor que fica mais de 1,5 vezes a amplitude interquartil abaixo de Q1 ou acima de Q3. No diagrama de caixa, os bigodes param no último valor dentro desse intervalo e o resto aparece como pontos à parte.

Todos os dados seguem uma distribuição normal?

Não. Tempos de espera, rendimentos e tamanhos de ficheiros costumam ser assimétricos, com uma cauda longa de um lado. Aí a média afasta-se da mediana e a regra 68-95-99,7 deixa de valer. Comparar média e mediana e olhar para o histograma é uma primeira verificação rápida.

O que indica a amplitude interquartil?

A amplitude interquartil é Q3 menos Q1, a largura da metade central dos dados. Tal como a mediana, ignora os extremos, sendo uma medida robusta de dispersão para dados assimétricos ou com valores atípicos, onde o desvio padrão pode enganar.