평균, 퍼짐, 정규분포
숫자 목록은 그 자체로는 많은 것을 말해 주지 않습니다. 중심을 나타내는 값과 퍼짐을 나타내는 값 두세 개면 대부분을 알 수 있습니다. 이 페이지에서는 그 값들의 의미와 언제 무엇을 쓰는지 설명합니다.
평균일까, 중앙값일까?
평균은 모든 값을 더해 개수로 나눈 값입니다. 중앙값은 정렬했을 때 가운데 값입니다. 대칭인 데이터에서는 둘이 거의 같지만, 극단값 몇 개가 평균을 끌어당기는 동안 중앙값은 거의 움직이지 않습니다. 그래서 소득과 집값은 보통 중앙값으로 발표됩니다. 억만장자 한 명은 마을의 평균 소득을 올리지만 중앙값은 올리지 않습니다.
분산과 표준편차
두 반의 평균 점수가 같아도 한 반이 훨씬 고르지 않을 수 있습니다. 분산은 그 퍼짐을 잽니다. 각 값과 평균의 거리를 구하고, 음수와 양수가 상쇄되지 않도록 제곱한 뒤 그 제곱들의 평균을 냅니다. 제곱하면 단위가 바뀌므로(센티미터가 제곱센티미터가 됨) 보통 제곱근을 취합니다. 그것이 표준편차로, 원래 단위로 나타낸 평균으로부터의 전형적인 거리입니다.
표본과 모집단: 왜 n - 1일까?
숫자가 집단 전체라면 제곱합을 n으로 나눕니다. 이것이 모분산입니다. 하지만 보통 숫자는 표본이고 더 큰 집단의 퍼짐을 추정하려는 것입니다. 표본 자체의 평균은 언제나 그 표본에 가장 잘 맞기 때문에 거리가 조금 작게 나옵니다. n 대신 n - 1로 나누는 베셀 보정이 이를 메워 줍니다. 표본이 크면 차이는 아주 작지만 값이 다섯 개면 25퍼센트입니다.
가우스와 정규분포
1809년 무렵 카를 프리드리히 가우스는 천문 관측의 오차를 종 모양 곡선으로 설명했습니다. 이 정규분포는 키, 측정 오차, 시험 점수처럼 작고 독립적인 많은 영향이 더해질 때 나타납니다. 평균과 표준편차만으로 완전히 정해지며, 값의 약 68퍼센트가 평균에서 표준편차 1배 이내, 95퍼센트가 2배 이내, 99.7퍼센트가 3배 이내에 있습니다. 히스토그램이 종 모양이라면 이 경험 법칙이 맞습니다.
자주 묻는 질문
이상값이란 무엇인가요?
흔히 쓰는 규칙에서는 Q1보다 아래나 Q3보다 위로 사분위 범위의 1.5배를 넘게 떨어진 값을 이상값으로 봅니다. 상자 그림에서 수염은 그 범위 안의 마지막 값에서 끝나고, 그 너머는 따로 점으로 그립니다.
모든 데이터가 정규분포를 따르나요?
아니요. 대기 시간, 소득, 파일 크기는 보통 한쪽으로 긴 꼬리가 있는 치우친 분포입니다. 그러면 평균이 중앙값에서 멀어지고 68-95-99.7 규칙은 더 이상 맞지 않습니다. 평균과 중앙값을 비교하고 히스토그램을 보는 것이 빠른 첫 점검입니다.
사분위 범위는 무엇을 알려 주나요?
IQR은 Q3에서 Q1을 뺀 값으로, 데이터 가운데 절반의 폭입니다. 중앙값처럼 극단값을 무시하므로, 표준편차가 오해를 줄 수 있는 치우친 데이터나 이상값이 있는 데이터에서 튼튼한 퍼짐 척도가 됩니다.
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