Über Zinseszins | Formel, 72er-Regel und Geschichte

Einfache Zinsen und Zinseszins

Bei einfachen Zinsen wird nur der ursprüngliche Betrag verzinst. Legen Sie 1.000 zu 5 % an, erhalten Sie jedes Jahr 50 und haben nach 20 Jahren 2.000. Beim Zinseszins werden die Zinsen jedes Jahres dem Guthaben zugeschlagen und ebenfalls verzinst: Das erste Jahr bringt noch 50, das zweite 52,50, und nach 20 Jahren sind es etwa 2.653. Der Unterschied ist zunächst klein und wird dann groß, weil das Wachstum exponentiell statt linear ist. Derselbe Mechanismus wirkt bei Schulden wie Kreditkarten gegen Sie, wenn unbezahlte Zinsen zur Schuld hinzukommen.

Die Formel A = P(1 + r/n)^(nt)

A ist der Endbetrag, P der Anfangsbetrag, r der Jahreszins als Dezimalzahl (5 % sind 0,05), n die Zahl der Zinsgutschriften pro Jahr und t die Zahl der Jahre. Beispiel: 1.000 zu 5 % bei monatlicher Verzinsung über 10 Jahre ergeben 1.000 × (1 + 0,05/12)^120 ≈ 1.647. Bei jährlicher Verzinsung sind es 1.629; häufigere Verzinsung hilft also, aber immer weniger. Wächst n unbegrenzt, erhält man die stetige Verzinsung A = Pe^(rt), hier etwa 1.649. Regelmäßige Einzahlungen werden berücksichtigt, indem jede Einzahlung für die Restlaufzeit mitwächst, genau so rechnet der Rechner Monat für Monat.

Die 72er-Regel

Um abzuschätzen, wann sich Geld verdoppelt, teilen Sie 72 durch den Jahreszins in Prozent. Bei 6 % sind das 72 / 6 = 12 Jahre; genau sind es 11,9. Bei 3 % dauert es etwa 24 Jahre, bei 9 % etwa 8. Die Regel passt gut zwischen etwa 4 % und 12 %; bei stetiger Verzinsung ist 69,3 genauer, und bei niedrigen Zinsen nehmen manche 70. Sie funktioniert auch rückwärts: Für eine Verdopplung in 10 Jahren brauchen Sie etwa 7,2 % pro Jahr. Derselbe Trick zeigt, wie schnell Inflation die Kaufkraft halbiert: Bei 3 % Inflation verdoppeln sich die Preise in etwa 24 Jahren. Luca Pacioli beschrieb die Regel bereits 1494.

Geschichte - von Fibonacci über Bernoulli bis e

Zinsen auf Darlehen tauchen schon vor etwa 4.000 Jahren auf babylonischen Tontafeln auf, und manche fragen bereits, wann sich eine Schuld verdoppelt. 1202 nahm Leonardo von Pisa, bekannt als Fibonacci, durchgerechnete Aufgaben zu Zinsen und Zinseszins in seinen Liber Abaci auf, das Buch, das auch die indisch-arabischen Ziffern zu europäischen Kaufleuten brachte. 1683 fragte Jakob Bernoulli, was passiert, wenn 100 % Jahreszins immer häufiger gutgeschrieben werden: halbjährlich ergibt 2,25, monatlich 2,613, täglich 2,7146. Er erkannte, dass (1 + 1/n)^n einem festen Grenzwert zwischen 2 und 3 zustrebt. Leonhard Euler nannte ihn später e, zeigte, dass er etwa 2,71828 beträgt, und machte ihn zu einem Kernbegriff der Mathematik, von stetiger Verzinsung bis zu natürlichem Wachstum und Zerfall.

Häufig gestellte Fragen

Macht häufigere Verzinsung einen großen Unterschied?

Weniger als die meisten erwarten. Bei 5 % pro Jahr ergibt jährliche Verzinsung effektiv 5,00 %, monatliche 5,12 % und stetige 5,13 %. Zinssatz, Laufzeit und Einzahlungen sind viel wichtiger.

Warum ist ein früher Start so wichtig?

Weil der größte Teil des Wachstums am Ende passiert. Bei 7 % verdoppelt sich Geld etwa alle 10 Jahre, nach 40 Jahren hat man also rund das 16-Fache, nach 30 Jahren nur das 8-Fache. Zehn zusätzliche Jahre am Anfang können mehr wert sein als jahrzehntelanges Mehrsparen später.

Warum hängt e mit Zinsen zusammen?

Weil e über Zinsen entdeckt wurde. Wächst 1 mit 100 % pro Jahr und werden die Zinsen unendlich oft gutgeschrieben, ist das Ergebnis nach einem Jahr genau e, etwa 2,718. Deshalb verwendet die stetige Verzinsung e^(rt).