Tentang bunga majemuk | Rumus, aturan 72, dan sejarah

Bunga sederhana dan majemuk

Dengan bunga sederhana, Anda hanya dibayar atas jumlah awal. Simpan 1.000 dengan bunga 5% dan Anda menerima 50 setiap tahun, sehingga setelah 20 tahun Anda punya 2.000. Dengan bunga majemuk, bunga setiap tahun ditambahkan ke saldo dan ikut berbunga: tahun pertama tetap 50, tahun kedua 52,50, dan setelah 20 tahun saldo sekitar 2.653. Selisihnya mulai kecil lalu membesar, karena pertumbuhannya eksponensial, bukan linear. Mekanisme yang sama merugikan Anda pada utang seperti kartu kredit, ketika bunga yang belum dibayar ditambahkan ke utang.

Rumus A = P(1 + r/n)^(nt)

A adalah jumlah akhir, P jumlah awal, r suku bunga tahunan dalam desimal (5% adalah 0,05), n berapa kali bunga ditambahkan per tahun, dan t jumlah tahun. Contoh: 1.000 dengan bunga 5% majemuk bulanan selama 10 tahun menghasilkan 1.000 × (1 + 0,05/12)^120 ≈ 1.647. Majemuk tahunan menghasilkan 1.629, jadi pemajemukan lebih sering membantu, tetapi makin lama makin kecil. Jika n bertambah tanpa batas, Anda mendapat pemajemukan kontinu A = Pe^(rt), di sini sekitar 1.649. Setoran rutin dihitung dengan membiarkan setiap setoran tumbuh selama sisa waktu, persis seperti cara kalkulator menghitung bulan demi bulan.

Aturan 72

Untuk memperkirakan berapa lama uang berlipat dua, bagi 72 dengan suku bunga tahunan dalam persen. Pada 6% hasilnya 72 / 6 = 12 tahun; nilai tepatnya 11,9. Pada 3% sekitar 24 tahun, pada 9% sekitar 8. Aturan ini akurat kira-kira antara 4% dan 12%; untuk pemajemukan kontinu 69,3 lebih tepat, dan untuk bunga rendah sebagian orang memakai 70. Aturan ini juga bisa dibalik: untuk berlipat dua dalam 10 tahun Anda perlu sekitar 7,2% per tahun. Trik yang sama menunjukkan seberapa cepat inflasi memangkas daya beli menjadi separuh: dengan inflasi 3%, harga berlipat dua dalam sekitar 24 tahun. Luca Pacioli sudah menjelaskan aturan ini pada 1494.

Sejarah - dari Fibonacci hingga Bernoulli dan e

Bunga atas pinjaman sudah muncul pada lempeng tanah liat Babilonia sekitar 4.000 tahun lalu, dan sebagian bahkan menanyakan berapa lama utang berlipat dua. Pada 1202, Leonardo dari Pisa, yang dikenal sebagai Fibonacci, memasukkan soal-soal terjawab tentang bunga dan pertumbuhan majemuk dalam Liber Abaci, buku yang juga memperkenalkan angka Hindu-Arab kepada pedagang Eropa. Pada 1683, Jacob Bernoulli bertanya apa yang terjadi jika bunga 100% per tahun ditambahkan makin sering: dua kali setahun menghasilkan 2,25, bulanan 2,613, harian 2,7146. Ia melihat bahwa (1 + 1/n)^n mendekati batas tetap antara 2 dan 3. Leonhard Euler kemudian menamainya e, menunjukkan nilainya sekitar 2,71828, dan menjadikannya pusat matematika, dari pemajemukan kontinu hingga pertumbuhan dan peluruhan alami.

Pertanyaan yang sering diajukan

Apakah pemajemukan lebih sering membuat perbedaan besar?

Lebih kecil dari yang diduga. Pada 5% per tahun, pemajemukan tahunan memberi efektif 5,00%, bulanan 5,12%, dan kontinu 5,13%. Suku bunga, jangka waktu, dan setoran jauh lebih penting.

Mengapa memulai lebih awal sangat penting?

Karena sebagian besar pertumbuhan terjadi di akhir. Pada 7%, uang berlipat dua kira-kira setiap 10 tahun, jadi 40 tahun memberi sekitar 16 kali jumlah awal, sedangkan 30 tahun hanya 8 kali. Sepuluh tahun tambahan di awal bisa lebih berharga daripada puluhan tahun menabung lebih banyak kemudian.

Mengapa e berkaitan dengan bunga?

Karena e ditemukan melalui bunga. Jika 1 tumbuh 100% per tahun dan bunganya ditambahkan tak hingga kali, hasil setelah satu tahun tepat e, sekitar 2,718. Itulah sebabnya pemajemukan kontinu memakai e^(rt).