Despre dobânda compusă | Formula, regula lui 72 și istorie

Dobânda simplă și compusă

Cu dobânda simplă primești dobândă doar la suma inițială. Pui deoparte 1.000 la 5% și primești 50 în fiecare an, deci după 20 de ani ai 2.000. Cu dobânda compusă, dobânda fiecărui an se adaugă la sold și produce la rândul ei dobândă: primul an dă tot 50, al doilea 52,50, iar după 20 de ani soldul ajunge la circa 2.653. Diferența începe mică și devine mare, pentru că creșterea este exponențială, nu liniară. Același mecanism lucrează împotriva ta la datorii precum cardurile de credit, unde dobânda neplătită se adaugă la ce datorezi.

Formula A = P(1 + r/n)^(nt)

A este suma finală, P suma inițială, r rata anuală ca zecimală (5% este 0,05), n numărul de capitalizări pe an și t numărul de ani. Exemplu: 1.000 la 5% cu capitalizare lunară timp de 10 ani dau 1.000 × (1 + 0,05/12)^120 ≈ 1.647. Capitalizarea anuală dă 1.629, deci capitalizarea mai deasă ajută, dar tot mai puțin. Dacă n crește fără limită, obții capitalizarea continuă A = Pe^(rt), aici circa 1.649. Contribuțiile regulate se iau în calcul lăsând fiecare depunere să crească pe durata rămasă, exact cum face calculatorul lună de lună.

Regula lui 72

Ca să estimezi în cât timp se dublează banii, împarte 72 la rata anuală în procente. La 6% rezultă 72 / 6 = 12 ani; exact este 11,9. La 3% durează circa 24 de ani, la 9% circa 8. Regula funcționează bine între aproximativ 4% și 12%; la capitalizare continuă 69,3 este mai precis, iar la rate mici unii folosesc 70. Funcționează și invers: ca să dublezi suma în 10 ani ai nevoie de circa 7,2% pe an. Același truc arată cât de repede inflația înjumătățește puterea de cumpărare: la o inflație de 3%, prețurile se dublează în circa 24 de ani. Luca Pacioli descria regula încă din 1494.

Istorie - de la Fibonacci la Bernoulli și e

Dobânda la împrumuturi apare deja pe tăblițe babiloniene de lut de acum circa 4.000 de ani, iar unele întreabă în cât timp se dublează o datorie. În 1202, Leonardo din Pisa, cunoscut ca Fibonacci, a inclus probleme rezolvate despre dobândă și creștere compusă în Liber Abaci, cartea care a adus și cifrele indo-arabe negustorilor europeni. În 1683, Jakob Bernoulli s-a întrebat ce se întâmplă dacă o dobândă de 100% pe an se adaugă tot mai des: de două ori pe an dă 2,25, lunar 2,613, zilnic 2,7146. A observat că (1 + 1/n)^n se apropie de o limită fixă între 2 și 3. Leonhard Euler a numit-o mai târziu e, a arătat că este aproximativ 2,71828 și a făcut-o centrală în matematică, de la capitalizarea continuă la creșterea și descreșterea naturală.

Întrebări frecvente

Contează mult o capitalizare mai deasă?

Mai puțin decât se crede. La 5% pe an, capitalizarea anuală dă efectiv 5,00%, cea lunară 5,12% și cea continuă 5,13%. Rata, durata și contribuțiile contează mult mai mult.

De ce contează atât de mult să începi devreme?

Pentru că cea mai mare parte a creșterii are loc la final. La 7%, banii se dublează cam la fiecare 10 ani, deci 40 de ani dau circa de 16 ori suma inițială, iar 30 de ani doar de 8 ori. Zece ani în plus la început pot valora mai mult decât decenii de economii suplimentare mai târziu.

De ce e este legat de dobândă?

Pentru că a fost descoperit prin dobândă. Dacă 1 crește cu 100% pe an, iar dobânda se adaugă de infinit de multe ori, rezultatul după un an este exact e, circa 2,718. De aceea capitalizarea continuă folosește e^(rt).