Sobre el interés compuesto | Fórmula, regla del 72 e historia

Interés simple y compuesto

Con interés simple solo se paga sobre el importe original. Si ahorras 1.000 al 5 %, recibes 50 cada año y tras 20 años tienes 2.000. Con interés compuesto, los intereses de cada año se suman al saldo y también generan intereses: el primer año sigue dando 50, el segundo 52,50 y tras 20 años el saldo ronda los 2.653. La diferencia empieza siendo pequeña y se hace grande, porque el crecimiento es exponencial y no lineal. El mismo mecanismo juega en tu contra con deudas como las tarjetas de crédito, donde los intereses impagados se suman a lo que debes.

La fórmula A = P(1 + r/n)^(nt)

A es el importe final, P el inicial, r el tipo anual en decimal (5 % es 0,05), n el número de capitalizaciones al año y t el número de años. Ejemplo: 1.000 al 5 % con capitalización mensual durante 10 años dan 1.000 × (1 + 0,05/12)^120 ≈ 1.647. Con capitalización anual se obtienen 1.629: capitalizar más a menudo ayuda, pero cada vez menos. Si n crece sin límite se llega a la capitalización continua A = Pe^(rt), aquí unos 1.649. Las aportaciones periódicas se tienen en cuenta haciendo crecer cada depósito durante el tiempo restante, como hace la calculadora mes a mes.

La regla del 72

Para estimar cuánto tarda el dinero en duplicarse, divide 72 entre el tipo anual en porcentaje. Al 6 % son 72 / 6 = 12 años; el valor exacto es 11,9. Al 3 % son unos 24 años y al 9 % unos 8. La regla funciona bien entre aproximadamente el 4 % y el 12 %; con capitalización continua 69,3 es más preciso, y para tipos bajos algunos usan 70. También funciona al revés: para duplicar en 10 años necesitas cerca de un 7,2 % anual. El mismo truco muestra lo rápido que la inflación reduce a la mitad el poder adquisitivo: con un 3 % de inflación, los precios se duplican en unos 24 años. Luca Pacioli ya describió la regla en 1494.

Historia - de Fibonacci a Bernoulli y e

Los intereses sobre préstamos ya aparecen en tablillas de arcilla babilónicas de hace unos 4.000 años, y algunas preguntan cuánto tarda una deuda en duplicarse. En 1202, Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, incluyó problemas resueltos de interés y crecimiento compuesto en su Liber Abaci, el libro que también llevó los números indoarábigos a los comerciantes europeos. En 1683, Jacob Bernoulli se preguntó qué pasa si un interés del 100 % anual se añade cada vez con más frecuencia: dos veces al año da 2,25, cada mes 2,613, cada día 2,7146. Vio que (1 + 1/n)^n se acerca a un límite fijo entre 2 y 3. Leonhard Euler lo llamó después e, demostró que vale unos 2,71828 y lo convirtió en algo central de las matemáticas, desde la capitalización continua hasta el crecimiento y el decaimiento naturales.

Preguntas frecuentes

¿Capitalizar más a menudo marca una gran diferencia?

Menos de lo que se suele pensar. Al 5 % anual, la capitalización anual da un 5,00 % efectivo, la mensual un 5,12 % y la continua un 5,13 %. El tipo, el plazo y lo que aportas importan mucho más.

¿Por qué importa tanto empezar pronto?

Porque la mayor parte del crecimiento llega al final. Al 7 % el dinero se duplica más o menos cada 10 años, así que 40 años dan unas 16 veces el importe inicial y 30 años solo 8. Diez años más al principio pueden valer más que décadas de ahorro extra después.

¿Por qué e está ligado al interés?

Porque se descubrió gracias al interés. Si 1 crece al 100 % anual y los intereses se suman infinitas veces, el resultado tras un año es exactamente e, unos 2,718. Por eso la capitalización continua usa e^(rt).