Om rentes rente | Formel, 72-reglen og historie

Simpel rente og rentes rente

Med simpel rente får du kun rente af det oprindelige beløb. Sætter du 1.000 til side til 5 %, får du 50 hvert år og har 2.000 efter 20 år. Med rentes rente lægges hvert års rente til saldoen og giver også rente: første år giver stadig 50, andet år 52,50, og efter 20 år er saldoen cirka 2.653. Forskellen starter lille og bliver stor, fordi væksten er eksponentiel i stedet for lineær. Samme mekanisme virker imod dig ved gæld som kreditkort, hvor ubetalte renter lægges til det, du skylder.

Formlen A = P(1 + r/n)^(nt)

A er slutbeløbet, P startbeløbet, r den årlige rente som decimaltal (5 % er 0,05), n antal rentetilskrivninger om året og t antal år. Eksempel: 1.000 til 5 % med månedlig tilskrivning i 10 år giver 1.000 × (1 + 0,05/12)^120 ≈ 1.647. Årlig tilskrivning giver 1.629, så hyppigere tilskrivning hjælper, men mindre og mindre. Vokser n uden grænse, får du kontinuerlig forrentning, A = Pe^(rt), her cirka 1.649. Faste indbetalinger håndteres ved at lade hver indbetaling vokse i den resterende tid, præcis som beregneren gør måned for måned.

72-reglen

For at anslå, hvor lang tid det tager at fordoble penge, dividerer du 72 med den årlige rente i procent. Ved 6 % er det 72 / 6 = 12 år; præcist er det 11,9. Ved 3 % tager det omkring 24 år, ved 9 % omkring 8. Reglen virker godt mellem cirka 4 % og 12 %; ved kontinuerlig forrentning er 69,3 mere præcist, og ved lave renter bruger nogle 70. Den virker også baglæns: for at fordoble på 10 år skal du have cirka 7,2 % om året. Samme trick viser, hvor hurtigt inflation halverer købekraften: ved 3 % inflation fordobles priserne på cirka 24 år. Luca Pacioli beskrev reglen allerede i 1494.

Historie - fra Fibonacci til Bernoulli og e

Renter på lån findes allerede på babyloniske lertavler fra omkring 4.000 år siden, og nogle spørger, hvor lang tid det tager for en gæld at fordobles. I 1202 tog Leonardo fra Pisa, kendt som Fibonacci, regnede opgaver om renter og rentes rente med i sin Liber Abaci, bogen der også bragte de hindu-arabiske tal til europæiske købmænd. I 1683 spurgte Jakob Bernoulli, hvad der sker, hvis 100 % rente om året tilskrives stadig oftere: to gange om året giver 2,25, månedligt 2,613, dagligt 2,7146. Han så, at (1 + 1/n)^n nærmer sig en fast grænse mellem 2 og 3. Leonhard Euler kaldte den senere e, viste at den er cirka 2,71828, og gjorde den central i matematikken, fra kontinuerlig forrentning til naturlig vækst og henfald.

Ofte stillede spørgsmål

Gør hyppigere rentetilskrivning stor forskel?

Mindre end de fleste tror. Ved 5 % om året giver årlig tilskrivning effektivt 5,00 %, månedlig 5,12 % og kontinuerlig 5,13 %. Renten, tiden og indbetalingerne betyder langt mere.

Hvorfor betyder det så meget at starte tidligt?

Fordi det meste af væksten sker til sidst. Ved 7 % fordobles penge cirka hvert 10. år, så 40 år giver omkring 16 gange beløbet, mens 30 år kun giver 8 gange. Ti ekstra år i starten kan være mere værd end årtiers ekstra opsparing senere.

Hvorfor hænger e sammen med renter?

Fordi e blev opdaget gennem renter. Vokser 1 med 100 % om året, og renten tilskrives uendeligt ofte, er resultatet efter et år præcis e, cirka 2,718. Derfor bruger kontinuerlig forrentning e^(rt).