चक्रवृद्धि ब्याज के बारे में | सूत्र, 72 का नियम और इतिहास

साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज

साधारण ब्याज में केवल मूल राशि पर ब्याज मिलता है। 1,000 को 5% पर रखें तो हर साल 50 मिलते हैं, यानी 20 साल बाद 2,000। चक्रवृद्धि ब्याज में हर साल का ब्याज शेष में जुड़ता है और उस पर भी ब्याज मिलता है: पहले साल फिर भी 50, दूसरे साल 52.50, और 20 साल बाद शेष लगभग 2,653। अंतर छोटा शुरू होकर बड़ा हो जाता है, क्योंकि वृद्धि रैखिक नहीं बल्कि घातीय है। यही तंत्र क्रेडिट कार्ड जैसे कर्ज़ में आपके खिलाफ काम करता है, जहाँ न चुकाया गया ब्याज बकाया में जुड़ जाता है।

सूत्र A = P(1 + r/n)^(nt)

A अंतिम राशि है, P प्रारंभिक राशि, r दशमलव में वार्षिक दर (5% यानी 0.05), n साल में ब्याज जुड़ने की संख्या और t वर्षों की संख्या। उदाहरण: 1,000 को 5% पर मासिक चक्रवृद्धि से 10 साल रखने पर 1,000 × (1 + 0.05/12)^120 ≈ 1,647 मिलता है। वार्षिक चक्रवृद्धि से 1,629 मिलता है, यानी अधिक बार ब्याज जुड़ना मदद करता है, पर लगातार कम। यदि n असीमित रूप से बढ़े तो सतत चक्रवृद्धि A = Pe^(rt) मिलती है, यहाँ लगभग 1,649। नियमित योगदान को हर जमा को शेष समय तक बढ़ने देकर जोड़ा जाता है, और कैलकुलेटर महीने-दर-महीने यही करता है।

72 का नियम

पैसा कितने समय में दोगुना होगा, इसका अनुमान लगाने के लिए 72 को प्रतिशत में वार्षिक दर से भाग दें। 6% पर यह 72 / 6 = 12 साल है; सटीक उत्तर 11.9 है। 3% पर लगभग 24 साल, 9% पर लगभग 8। यह नियम लगभग 4% से 12% के बीच अच्छा काम करता है; सतत चक्रवृद्धि के लिए 69.3 अधिक सटीक है, और कम दरों पर कुछ लोग 70 लेते हैं। यह उल्टा भी काम करता है: 10 साल में दोगुना करने के लिए लगभग 7.2% सालाना चाहिए। यही तरकीब दिखाती है कि महँगाई क्रय शक्ति को कितनी जल्दी आधा करती है: 3% महँगाई पर कीमतें लगभग 24 साल में दोगुनी हो जाती हैं। लूका पाचोली ने 1494 में ही इस नियम का वर्णन किया था।

इतिहास - फिबोनाची से बर्नूली और e तक

ऋणों पर ब्याज लगभग 4,000 साल पहले की बेबीलोनियाई मिट्टी की तख्तियों पर भी मिलता है, और कुछ में यह पूछा गया है कि कर्ज़ कितने समय में दोगुना होगा। 1202 में पीसा के लियोनार्डो, जिन्हें फिबोनाची के नाम से जाना जाता है, ने अपनी पुस्तक लिबर अबासी में ब्याज और चक्रवृद्धि वृद्धि पर हल किए गए प्रश्न शामिल किए; इसी पुस्तक ने यूरोपीय व्यापारियों तक हिंदू-अरबी अंक भी पहुँचाए। 1683 में जैकब बर्नूली ने पूछा कि अगर 100% सालाना ब्याज बार-बार और अधिक बार जोड़ा जाए तो क्या होगा: साल में दो बार 2.25, मासिक 2.613, दैनिक 2.7146। उन्होंने देखा कि (1 + 1/n)^n 2 और 3 के बीच एक निश्चित सीमा की ओर बढ़ता है। बाद में लियोनहार्ड ऑयलर ने इसे e नाम दिया, दिखाया कि यह लगभग 2.71828 है, और इसे सतत चक्रवृद्धि से लेकर प्राकृतिक वृद्धि और क्षय तक गणित के केंद्र में ला दिया।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या अधिक बार चक्रवृद्धि से बड़ा अंतर पड़ता है?

ज़्यादातर लोगों की अपेक्षा से कम। 5% सालाना पर वार्षिक चक्रवृद्धि प्रभावी 5.00%, मासिक 5.12% और सतत 5.13% देती है। दर, समय और योगदान कहीं अधिक मायने रखते हैं।

जल्दी शुरू करना इतना महत्वपूर्ण क्यों है?

क्योंकि अधिकांश वृद्धि अंत में होती है। 7% पर पैसा लगभग हर 10 साल में दोगुना होता है, इसलिए 40 साल में मूल राशि का लगभग 16 गुना और 30 साल में केवल 8 गुना मिलता है। शुरुआत के दस अतिरिक्त साल बाद में दशकों की अतिरिक्त बचत से अधिक मूल्यवान हो सकते हैं।

e का ब्याज से क्या संबंध है?

क्योंकि e की खोज ब्याज के ज़रिए ही हुई। यदि 1 सालाना 100% बढ़े और ब्याज अनंत बार जोड़ा जाए, तो एक साल बाद परिणाम ठीक e, लगभग 2.718 होता है। इसीलिए सतत चक्रवृद्धि में e^(rt) का उपयोग होता है।