Informazioni sull'interesse composto | Formula, regola del 72 e storia

Interesse semplice e composto

Con l'interesse semplice si viene pagati solo sull'importo iniziale. Metti da parte 1.000 al 5% e ricevi 50 ogni anno, quindi dopo 20 anni hai 2.000. Con l'interesse composto gli interessi di ogni anno si aggiungono al saldo e maturano a loro volta: il primo anno dà ancora 50, il secondo 52,50, e dopo 20 anni il saldo è di circa 2.653. La differenza parte piccola e diventa grande, perché la crescita è esponenziale anziché lineare. Lo stesso meccanismo gioca contro di te sui debiti come le carte di credito, dove gli interessi non pagati si sommano al debito.

La formula A = P(1 + r/n)^(nt)

A è l'importo finale, P quello iniziale, r il tasso annuo in decimali (5% è 0,05), n il numero di capitalizzazioni all'anno e t il numero di anni. Esempio: 1.000 al 5% capitalizzati mensilmente per 10 anni danno 1.000 × (1 + 0,05/12)^120 ≈ 1.647. Con capitalizzazione annuale si ottiene 1.629: capitalizzare più spesso aiuta, ma sempre meno. Se n cresce senza limite si ottiene la capitalizzazione continua A = Pe^(rt), qui circa 1.649. I versamenti periodici si gestiscono facendo crescere ogni deposito per il tempo rimanente, come fa il calcolatore mese per mese.

La regola del 72

Per stimare in quanto tempo il denaro raddoppia, dividi 72 per il tasso annuo in percentuale. Al 6% sono 72 / 6 = 12 anni; il valore esatto è 11,9. Al 3% servono circa 24 anni, al 9% circa 8. La regola funziona bene tra circa il 4% e il 12%; con capitalizzazione continua 69,3 è più preciso, e per tassi bassi alcuni usano 70. Funziona anche al contrario: per raddoppiare in 10 anni serve circa il 7,2% annuo. Lo stesso trucco mostra quanto velocemente l'inflazione dimezza il potere d'acquisto: con il 3% di inflazione i prezzi raddoppiano in circa 24 anni. Luca Pacioli descrisse la regola già nel 1494.

Storia - da Fibonacci a Bernoulli ed e

Gli interessi sui prestiti compaiono già su tavolette d'argilla babilonesi di circa 4.000 anni fa, e alcune chiedono già quanto tempo serve perché un debito raddoppi. Nel 1202 Leonardo Pisano, detto Fibonacci, inserì problemi svolti su interessi e crescita composta nel suo Liber Abaci, il libro che portò anche le cifre indo-arabe ai mercanti europei. Nel 1683 Jakob Bernoulli si chiese cosa succede se un interesse del 100% annuo viene aggiunto sempre più spesso: due volte l'anno dà 2,25, ogni mese 2,613, ogni giorno 2,7146. Capì che (1 + 1/n)^n tende a un limite fisso tra 2 e 3. Leonhard Euler lo chiamò poi e, mostrò che vale circa 2,71828 e lo rese centrale nella matematica, dalla capitalizzazione continua alla crescita e al decadimento naturali.

Domande frequenti

Capitalizzare più spesso fa una grande differenza?

Meno di quanto si pensi. Al 5% annuo, la capitalizzazione annuale dà un 5,00% effettivo, quella mensile il 5,12% e quella continua il 5,13%. Tasso, durata e versamenti contano molto di più.

Perché iniziare presto conta così tanto?

Perché la maggior parte della crescita avviene alla fine. Al 7% il denaro raddoppia circa ogni 10 anni, quindi 40 anni danno circa 16 volte l'importo iniziale, 30 anni solo 8 volte. Dieci anni in più all'inizio possono valere più di decenni di risparmi extra dopo.

Perché e è legato agli interessi?

Perché è stato scoperto proprio grazie agli interessi. Se 1 cresce al 100% annuo e gli interessi vengono aggiunti infinite volte, dopo un anno il risultato è esattamente e, circa 2,718. Per questo la capitalizzazione continua usa e^(rt).