複利、フィボナッチからネイピア数 e まで
複利とは、貯めたお金だけでなく、すでに受け取った利息にも利息がつくことです。単利との違い、標準的な公式の仕組み、倍になる期間をすばやく求める法則、そしてそれを解き明かした数学者たちを紹介します。
単利と複利
単利では元の金額にだけ利息がつきます。1,000を5%で預けると毎年50を受け取り、20年後には2,000になります。複利では毎年の利息が残高に加わり、それにも利息がつきます。1年目は同じ50でも2年目は52.50になり、20年後の残高は約2,653です。差は最初は小さくても、成長が直線ではなく指数関数的なので大きくなります。同じ仕組みはクレジットカードなどの借金では不利に働き、未払いの利息が借入額に加わります。
公式 A = P(1 + r/n)^(nt)
A は最終金額、P は元本、r は小数で表した年利（5% なら 0.05）、n は1年あたりの利息の組み入れ回数、t は年数です。例：1,000 を年5%・毎月複利で10年運用すると 1,000 × (1 + 0.05/12)^120 ≈ 1,647 になります。年1回の複利では 1,629 なので、組み入れ回数が多いほど有利ですが、その差はだんだん小さくなります。n を限りなく大きくすると連続複利 A = Pe^(rt) となり、この例では約 1,649 です。定期的な積立は、各入金を残りの期間だけ成長させて計算します。計算ツールも毎月この方法で計算しています。
72の法則
お金が倍になるまでの期間を見積もるには、72を年利（%）で割ります。6%なら 72 / 6 = 12年で、正確には11.9年です。3%なら約24年、9%なら約8年です。この法則はおよそ4%から12%の範囲でよく当てはまります。連続複利では69.3のほうが正確で、低金利では70を使う人もいます。逆算にも使えます。10年で倍にするには年約7.2%が必要です。同じ方法で、インフレが購買力を半分にする速さもわかります。インフレ率3%なら物価は約24年で倍になります。ルカ・パチョーリは1494年にすでにこの法則を記しています。
歴史 - フィボナッチからベルヌーイと e へ
約4,000年前のバビロニアの粘土板にはすでに貸付の利息が登場し、借金が倍になるまでの期間を問うものもあります。1202年、フィボナッチとして知られるピサのレオナルドは、ヨーロッパの商人にインド・アラビア数字を広めた『算盤の書』（Liber Abaci）に、利息と複利の例題を載せました。1683年、ヤコブ・ベルヌーイは、年100%の利息をどんどん頻繁に組み入れたらどうなるかを考えました。年2回なら2.25、毎月なら2.613、毎日なら2.7146です。彼は (1 + 1/n)^n が2と3の間の一定の極限に近づくことに気づきました。のちにレオンハルト・オイラーがこれを e と名付け、約2.71828であることを示し、連続複利から自然な成長や減衰まで、数学の中心的な存在にしました。
よくある質問
複利の回数を増やすと大きな差が出ますか？
多くの人が思うほどではありません。年5%の場合、年1回の複利の実効利率は5.00%、毎月は5.12%、連続複利は5.13%です。利率そのもの、期間、積立額のほうがはるかに重要です。
なぜ早く始めることがそれほど大切なのですか？
成長の大部分は終盤に起こるからです。年7%なら資金は約10年ごとに倍になり、40年で元本の約16倍、30年ではわずか8倍です。最初の10年の差は、後で何十年も多く積み立てるより価値がある場合があります。
なぜ e は利息と関係があるのですか？
e は利息を通じて発見されたからです。1 が年100%で増え、利息が無限に頻繁に組み入れられると、1年後の結果はちょうど e、約2.718になります。連続複利で e^(rt) を使うのはそのためです。
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