À propos des intérêts composés | Formule, règle de 72 et histoire

Intérêts simples et composés

Avec des intérêts simples, seul le montant initial rapporte. Placez 1 000 à 5 % et vous recevez 50 chaque année, soit 2 000 au bout de 20 ans. Avec des intérêts composés, les intérêts de chaque année s'ajoutent au solde et rapportent à leur tour : la première année donne toujours 50, la deuxième 52,50, et après 20 ans le solde atteint environ 2 653. L'écart est faible au début puis devient important, car la croissance est exponentielle et non linéaire. Le même mécanisme joue contre vous sur les dettes comme les cartes de crédit, où les intérêts impayés s'ajoutent à ce que vous devez.

La formule A = P(1 + r/n)^(nt)

A est le montant final, P le montant de départ, r le taux annuel en décimal (5 % donne 0,05), n le nombre de capitalisations par an et t le nombre d'années. Exemple : 1 000 à 5 % capitalisés mensuellement pendant 10 ans donnent 1 000 × (1 + 0,05/12)^120 ≈ 1 647. Une capitalisation annuelle donne 1 629 : capitaliser plus souvent aide, mais de moins en moins. Si n croît sans limite, on obtient la capitalisation continue A = Pe^(rt), soit environ 1 649 ici. Les versements réguliers sont pris en compte en faisant fructifier chaque dépôt pendant la durée restante, ce que fait le calculateur mois par mois.

La règle de 72

Pour estimer le temps de doublement d'un capital, divisez 72 par le taux annuel en pourcentage. À 6 %, cela fait 72 / 6 = 12 ans ; la valeur exacte est 11,9. À 3 %, il faut environ 24 ans, à 9 % environ 8. La règle fonctionne bien entre environ 4 % et 12 % ; en capitalisation continue, 69,3 est plus précis, et certains utilisent 70 pour les taux bas. Elle marche aussi à l'envers : pour doubler en 10 ans, il faut environ 7,2 % par an. La même astuce montre à quelle vitesse l'inflation divise le pouvoir d'achat par deux : à 3 % d'inflation, les prix doublent en 24 ans environ. Luca Pacioli décrivait déjà cette règle en 1494.

Histoire - de Fibonacci à Bernoulli et e

Les intérêts sur les prêts figurent déjà sur des tablettes d'argile babyloniennes il y a environ 4 000 ans, et certaines demandent combien de temps il faut pour qu'une dette double. En 1202, Léonard de Pise, dit Fibonacci, a inclus des problèmes résolus d'intérêts et de croissance composée dans son Liber Abaci, le livre qui a aussi fait connaître les chiffres indo-arabes aux marchands européens. En 1683, Jacques Bernoulli s'est demandé ce qui se passe si un intérêt de 100 % par an est ajouté de plus en plus souvent : deux fois par an donne 2,25, chaque mois 2,613, chaque jour 2,7146. Il a vu que (1 + 1/n)^n tend vers une limite fixe entre 2 et 3. Leonhard Euler l'a ensuite appelée e, a montré qu'elle vaut environ 2,71828 et en a fait une notion centrale des mathématiques, de la capitalisation continue à la croissance et à la décroissance naturelles.

Questions fréquemment posées

Capitaliser plus souvent change-t-il beaucoup ?

Moins qu'on ne le pense. À 5 % par an, la capitalisation annuelle donne 5,00 % effectifs, mensuelle 5,12 % et continue 5,13 %. Le taux, la durée et les versements comptent bien davantage.

Pourquoi commencer tôt compte-t-il autant ?

Parce que l'essentiel de la croissance arrive à la fin. À 7 %, l'argent double environ tous les 10 ans : 40 ans donnent environ 16 fois la mise, 30 ans seulement 8 fois. Dix années de plus au début peuvent valoir davantage que des décennies d'épargne supplémentaire plus tard.

Pourquoi e est-il lié aux intérêts ?

Parce qu'il a été découvert grâce aux intérêts. Si 1 croît à 100 % par an avec une capitalisation infiniment fréquente, le résultat après un an vaut exactement e, environ 2,718. C'est pourquoi la capitalisation continue utilise e^(rt).