Về lãi kép | Công thức, quy tắc 72 và lịch sử

Lãi đơn và lãi kép

Với lãi đơn, bạn chỉ được trả lãi trên số tiền ban đầu. Gửi 1.000 với lãi 5%, bạn nhận 50 mỗi năm và sau 20 năm có 2.000. Với lãi kép, tiền lãi mỗi năm được cộng vào số dư và cũng sinh lãi: năm đầu vẫn là 50, năm thứ hai là 52,50, và sau 20 năm số dư khoảng 2.653. Chênh lệch ban đầu nhỏ rồi trở nên lớn, vì tăng trưởng theo hàm mũ chứ không tuyến tính. Cơ chế này cũng bất lợi cho bạn với các khoản nợ như thẻ tín dụng, khi lãi chưa trả được cộng vào số nợ.

Công thức A = P(1 + r/n)^(nt)

A là số tiền cuối cùng, P là số tiền ban đầu, r là lãi suất năm dạng thập phân (5% là 0,05), n là số lần nhập lãi mỗi năm và t là số năm. Ví dụ: 1.000 với lãi 5% nhập lãi hằng tháng trong 10 năm cho 1.000 × (1 + 0,05/12)^120 ≈ 1.647. Nhập lãi hằng năm cho 1.629, nên nhập lãi thường xuyên hơn có lợi, nhưng ngày càng ít. Nếu n tăng không giới hạn, ta có lãi kép liên tục A = Pe^(rt), ở đây khoảng 1.649. Các khoản góp định kỳ được tính bằng cách cho mỗi khoản tăng trưởng trong thời gian còn lại, đúng như công cụ tính từng tháng.

Quy tắc 72

Để ước tính bao lâu tiền sẽ tăng gấp đôi, lấy 72 chia cho lãi suất năm tính theo phần trăm. Ở mức 6% là 72 / 6 = 12 năm; con số chính xác là 11,9. Ở 3% mất khoảng 24 năm, ở 9% khoảng 8 năm. Quy tắc này chính xác trong khoảng 4% đến 12%; với lãi kép liên tục thì 69,3 chính xác hơn, và với lãi thấp một số người dùng 70. Nó cũng dùng ngược được: muốn gấp đôi trong 10 năm, bạn cần khoảng 7,2% mỗi năm. Mẹo này còn cho thấy lạm phát làm sức mua giảm một nửa nhanh thế nào: với lạm phát 3%, giá cả tăng gấp đôi sau khoảng 24 năm. Luca Pacioli đã mô tả quy tắc này từ năm 1494.

Lịch sử - từ Fibonacci đến Bernoulli và e

Lãi trên các khoản vay đã xuất hiện trên những phiến đất sét Babylon khoảng 4.000 năm trước, và một số phiến còn hỏi bao lâu thì một khoản nợ tăng gấp đôi. Năm 1202, Leonardo xứ Pisa, được biết đến là Fibonacci, đưa các bài toán giải sẵn về lãi và tăng trưởng kép vào cuốn Liber Abaci, cuốn sách cũng mang chữ số Ấn Độ - Ả Rập đến với thương nhân châu Âu. Năm 1683, Jacob Bernoulli đặt câu hỏi: điều gì xảy ra nếu lãi 100% mỗi năm được nhập ngày càng thường xuyên? Hai lần mỗi năm cho 2,25, hằng tháng 2,613, hằng ngày 2,7146. Ông nhận ra (1 + 1/n)^n tiến tới một giới hạn cố định giữa 2 và 3. Sau này Leonhard Euler đặt tên nó là e, chứng minh nó xấp xỉ 2,71828 và đưa nó thành trung tâm của toán học, từ lãi kép liên tục đến tăng trưởng và suy giảm tự nhiên.

Hỏi thường xuyên

Nhập lãi thường xuyên hơn có tạo khác biệt lớn không?

Ít hơn nhiều người nghĩ. Với 5% mỗi năm, nhập lãi hằng năm cho lãi thực 5,00%, hằng tháng 5,12% và liên tục 5,13%. Bản thân lãi suất, thời gian và số tiền góp quan trọng hơn nhiều.

Vì sao bắt đầu sớm lại quan trọng đến vậy?

Vì phần lớn tăng trưởng diễn ra ở cuối. Với 7%, tiền tăng gấp đôi khoảng mỗi 10 năm, nên 40 năm cho khoảng 16 lần số tiền ban đầu, còn 30 năm chỉ 8 lần. Mười năm thêm ở đầu có thể giá trị hơn nhiều thập kỷ tiết kiệm thêm về sau.

Vì sao e liên quan đến lãi suất?

Vì e được phát hiện nhờ lãi suất. Nếu 1 tăng 100% mỗi năm và lãi được nhập vô hạn lần, kết quả sau một năm đúng bằng e, khoảng 2,718. Đó là lý do lãi kép liên tục dùng e^(rt).