Om ränta på ränta | Formel, 72-regeln och historia

Enkel ränta och ränta på ränta

Med enkel ränta får du bara ränta på det ursprungliga beloppet. Sätter du in 1 000 till 5 % får du 50 varje år och har 2 000 efter 20 år. Med ränta på ränta läggs varje års ränta till saldot och ger också ränta: första året ger fortfarande 50, andra året 52,50, och efter 20 år är saldot cirka 2 653. Skillnaden börjar liten och blir stor, eftersom tillväxten är exponentiell i stället för linjär. Samma mekanism verkar mot dig vid skulder som kreditkort, där obetald ränta läggs till det du är skyldig.

Formeln A = P(1 + r/n)^(nt)

A är slutbeloppet, P startbeloppet, r årsräntan som decimaltal (5 % är 0,05), n antal räntetillfällen per år och t antal år. Exempel: 1 000 till 5 % med månadsvis kapitalisering i 10 år ger 1 000 × (1 + 0,05/12)^120 ≈ 1 647. Årlig kapitalisering ger 1 629, så tätare kapitalisering hjälper, men allt mindre. Om n växer obegränsat får du kontinuerlig förräntning, A = Pe^(rt), här cirka 1 649. Regelbundna insättningar hanteras genom att varje insättning får växa under den återstående tiden, precis som kalkylatorn räknar månad för månad.

72-regeln

För att uppskatta hur lång tid det tar för pengar att fördubblas delar du 72 med årsräntan i procent. Vid 6 % blir det 72 / 6 = 12 år; exakt är det 11,9. Vid 3 % tar det cirka 24 år, vid 9 % cirka 8. Regeln fungerar bra mellan ungefär 4 % och 12 %; vid kontinuerlig förräntning är 69,3 mer exakt, och vid låga räntor använder vissa 70. Den fungerar också baklänges: för att fördubbla på 10 år behöver du cirka 7,2 % per år. Samma knep visar hur snabbt inflationen halverar köpkraften: vid 3 % inflation fördubblas priserna på cirka 24 år. Luca Pacioli beskrev regeln redan 1494.

Historia - från Fibonacci till Bernoulli och e

Ränta på lån finns redan på babyloniska lertavlor från omkring 4 000 år sedan, och vissa frågar hur lång tid det tar för en skuld att fördubblas. År 1202 tog Leonardo från Pisa, känd som Fibonacci, med uträknade uppgifter om ränta och ränta på ränta i sin Liber Abaci, boken som också förde de hindu-arabiska siffrorna till europeiska köpmän. År 1683 frågade Jakob Bernoulli vad som händer om 100 % ränta per år läggs till allt oftare: två gånger per år ger 2,25, varje månad 2,613, varje dag 2,7146. Han såg att (1 + 1/n)^n närmar sig ett fast gränsvärde mellan 2 och 3. Leonhard Euler kallade det senare e, visade att det är ungefär 2,71828 och gjorde det centralt i matematiken, från kontinuerlig förräntning till naturlig tillväxt och sönderfall.

Ofta ställda frågor

Gör tätare kapitalisering stor skillnad?

Mindre än de flesta tror. Vid 5 % per år ger årlig kapitalisering effektivt 5,00 %, månadsvis 5,12 % och kontinuerlig 5,13 %. Räntan, tiden och insättningarna betyder mycket mer.

Varför spelar det så stor roll att börja tidigt?

Eftersom det mesta av tillväxten sker i slutet. Vid 7 % fördubblas pengar ungefär vart tionde år, så 40 år ger cirka 16 gånger beloppet medan 30 år bara ger 8 gånger. Tio extra år i början kan vara värda mer än årtionden av extra sparande senare.

Varför hänger e ihop med ränta?

Eftersom e upptäcktes genom ränta. Om 1 växer med 100 % per år och räntan läggs till oändligt ofta blir resultatet efter ett år exakt e, ungefär 2,718. Därför använder kontinuerlig förräntning e^(rt).