عن الفائدة المركبة | المعادلة وقاعدة 72 والتاريخ

الفائدة البسيطة والمركبة

في الفائدة البسيطة تُدفع الفائدة على المبلغ الأصلي فقط. فإذا ادخرت 1,000 بنسبة 5% تحصل على 50 كل عام، فيصبح لديك 2,000 بعد 20 عامًا. أما في الفائدة المركبة فتُضاف فائدة كل عام إلى الرصيد وتكسب بدورها فائدة: يعطي العام الأول 50 أيضًا، والثاني 52.50، وبعد 20 عامًا يبلغ الرصيد نحو 2,653. يبدأ الفرق صغيرًا ثم يكبر، لأن النمو أُسّي لا خطي. والآلية نفسها تعمل ضدك في الديون مثل بطاقات الائتمان، حيث تُضاف الفائدة غير المدفوعة إلى ما تدين به.

المعادلة A = P(1 + r/n)^(nt)

A هو المبلغ النهائي، وP المبلغ الابتدائي، وr معدل الفائدة السنوي بصيغة عشرية (5% تساوي 0.05)، وn عدد مرات إضافة الفائدة في السنة، وt عدد السنوات. مثال: 1,000 بنسبة 5% مركبة شهريًا لمدة 10 سنوات تعطي 1,000 × (1 + 0.05/12)^120 ≈ 1,647. أما التركيب السنوي فيعطي 1,629، أي أن التركيب الأكثر تكرارًا يفيد لكن بقدر يتناقص. وإذا زادت n بلا حدود نحصل على التركيب المستمر A = Pe^(rt)، وهنا نحو 1,649. وتُحسب المساهمات المنتظمة بترك كل إيداع ينمو طوال المدة المتبقية، وهذا ما تفعله الحاسبة شهرًا بعد شهر.

قاعدة 72

لتقدير المدة التي يحتاجها المال ليتضاعف، اقسم 72 على معدل الفائدة السنوي بالنسبة المئوية. عند 6% يكون الناتج 72 / 6 = 12 عامًا، والقيمة الدقيقة 11.9. وعند 3% نحو 24 عامًا، وعند 9% نحو 8. تعمل القاعدة جيدًا بين 4% و12% تقريبًا، ومع التركيب المستمر يكون 69.3 أدق، ويستخدم بعضهم 70 للمعدلات المنخفضة. وتعمل بالعكس أيضًا: لتضاعف المبلغ خلال 10 سنوات تحتاج إلى نحو 7.2% سنويًا. والحيلة نفسها تُظهر سرعة تآكل القوة الشرائية بالتضخم: عند تضخم 3% تتضاعف الأسعار في نحو 24 عامًا. وقد وصف لوكا باتشولي هذه القاعدة منذ عام 1494.

التاريخ - من فيبوناتشي إلى برنولي والعدد e

تظهر الفائدة على القروض على ألواح طينية بابلية يعود عمرها إلى نحو 4,000 عام، وبعضها يسأل عن المدة التي يتضاعف فيها الدين. وفي عام 1202 ضمّن ليوناردو البيزي، المعروف بفيبوناتشي، مسائل محلولة عن الفائدة والنمو المركب في كتابه Liber Abaci، وهو الكتاب الذي نقل أيضًا الأرقام الهندية العربية إلى التجار الأوروبيين. وفي عام 1683 تساءل ياكوب برنولي عمّا يحدث إذا أُضيفت فائدة 100% سنويًا بوتيرة متزايدة: مرتين في السنة تعطي 2.25، وشهريًا 2.613، ويوميًا 2.7146. ولاحظ أن (1 + 1/n)^n يقترب من حد ثابت بين 2 و3. ثم سمّاه ليونهارد أويلر لاحقًا e، وبيّن أنه يساوي نحو 2.71828، وجعله محورًا أساسيًا في الرياضيات، من التركيب المستمر إلى النمو والاضمحلال الطبيعيين.

الأسئلة المتداولة

هل يُحدث التركيب الأكثر تكرارًا فرقًا كبيرًا؟

أقل مما يتوقعه معظم الناس. عند 5% سنويًا يعطي التركيب السنوي معدلًا فعليًا 5.00%، والشهري 5.12%، والمستمر 5.13%. أما المعدل نفسه والمدة والمساهمات فهي الأهم بكثير.

لماذا يهم البدء مبكرًا إلى هذا الحد؟

لأن معظم النمو يحدث في النهاية. عند 7% يتضاعف المال كل 10 سنوات تقريبًا، فتعطي 40 سنة نحو 16 ضعف المبلغ الأصلي بينما تعطي 30 سنة 8 أضعاف فقط. وقد تساوي عشر سنوات إضافية في البداية أكثر من عقود من الادخار الإضافي لاحقًا.

لماذا يرتبط العدد e بالفائدة؟

لأنه اكتُشف من خلال الفائدة. فإذا نما 1 بنسبة 100% سنويًا وأُضيفت الفائدة عددًا لا نهائيًا من المرات، كانت النتيجة بعد عام واحد هي e تمامًا، أي نحو 2.718. ولهذا يستخدم التركيب المستمر e^(rt).