O procencie składanym | Wzór, reguła 72 i historia

Procent prosty i składany

Przy procencie prostym odsetki nalicza się tylko od kwoty początkowej. Odkładając 1000 na 5%, dostajesz 50 co roku, więc po 20 latach masz 2000. Przy procencie składanym odsetki z każdego roku dopisuje się do salda i one też zarabiają: pierwszy rok daje nadal 50, drugi 52,50, a po 20 latach saldo wynosi około 2653. Różnica na początku jest mała, a potem duża, bo wzrost jest wykładniczy, a nie liniowy. Ten sam mechanizm działa przeciwko Tobie przy długach, np. na kartach kredytowych, gdzie niespłacone odsetki powiększają zadłużenie.

Wzór A = P(1 + r/n)^(nt)

A to kwota końcowa, P kwota początkowa, r roczna stopa jako ułamek dziesiętny (5% to 0,05), n liczba kapitalizacji w roku, a t liczba lat. Przykład: 1000 na 5% z kapitalizacją miesięczną przez 10 lat daje 1000 × (1 + 0,05/12)^120 ≈ 1647. Kapitalizacja roczna daje 1629, więc częstsza kapitalizacja pomaga, ale coraz mniej. Gdy n rośnie bez ograniczeń, otrzymujemy kapitalizację ciągłą A = Pe^(rt), tu około 1649. Regularne wpłaty uwzględnia się, pozwalając każdej z nich rosnąć przez pozostały czas, i tak właśnie kalkulator liczy miesiąc po miesiącu.

Reguła 72

Aby oszacować, ile czasu potrzeba na podwojenie pieniędzy, podziel 72 przez roczną stopę w procentach. Przy 6% to 72 / 6 = 12 lat; dokładnie 11,9. Przy 3% to około 24 lata, przy 9% około 8. Reguła działa dobrze mniej więcej między 4% a 12%; przy kapitalizacji ciągłej dokładniejsze jest 69,3, a przy niskich stopach niektórzy używają 70. Działa też w drugą stronę: aby podwoić kapitał w 10 lat, potrzeba około 7,2% rocznie. Ten sam trik pokazuje, jak szybko inflacja zmniejsza o połowę siłę nabywczą: przy inflacji 3% ceny podwajają się w około 24 lata. Luca Pacioli opisał tę regułę już w 1494 roku.

Historia - od Fibonacciego do Bernoulliego i e

Odsetki od pożyczek pojawiają się już na babilońskich glinianych tabliczkach sprzed około 4000 lat, a niektóre pytają, jak długo trwa podwojenie długu. W 1202 roku Leonardo z Pizy, znany jako Fibonacci, zamieścił rozwiązane zadania o odsetkach i wzroście składanym w swojej Liber Abaci, księdze, która przyniosła europejskim kupcom także cyfry indyjsko-arabskie. W 1683 roku Jakob Bernoulli zapytał, co się stanie, gdy odsetki 100% rocznie będą dopisywane coraz częściej: dwa razy w roku daje 2,25, co miesiąc 2,613, codziennie 2,7146. Zauważył, że (1 + 1/n)^n dąży do stałej granicy między 2 a 3. Leonhard Euler nazwał ją później e, pokazał, że wynosi około 2,71828, i uczynił ją jednym z filarów matematyki, od kapitalizacji ciągłej po naturalny wzrost i rozpad.

Często zadawane pytania

Czy częstsza kapitalizacja robi dużą różnicę?

Mniejszą, niż się wydaje. Przy 5% rocznie kapitalizacja roczna daje efektywnie 5,00%, miesięczna 5,12%, a ciągła 5,13%. Stopa, czas i wpłaty znaczą znacznie więcej.

Dlaczego wczesny start ma takie znaczenie?

Bo większość wzrostu następuje na końcu. Przy 7% pieniądze podwajają się mniej więcej co 10 lat, więc 40 lat daje około 16-krotność kwoty, a 30 lat tylko 8-krotność. Dziesięć dodatkowych lat na początku może być warte więcej niż dekady dodatkowego oszczędzania później.

Dlaczego e wiąże się z odsetkami?

Bo odkryto ją właśnie dzięki odsetkom. Jeśli 1 rośnie o 100% rocznie, a odsetki dopisuje się nieskończenie często, po roku wynik wynosi dokładnie e, około 2,718. Dlatego kapitalizacja ciągła używa e^(rt).