Over samengestelde rente | Formule, regel van 72 en geschiedenis

Enkelvoudige en samengestelde rente

Bij enkelvoudige rente krijg je alleen rente over het oorspronkelijke bedrag. Zet je 1.000 weg tegen 5%, dan krijg je elk jaar 50 en heb je na 20 jaar 2.000. Bij samengestelde rente wordt de rente van elk jaar bij het saldo opgeteld en levert die ook rente op: het eerste jaar geeft nog 50, het tweede 52,50, en na 20 jaar staat er ongeveer 2.653. Het verschil begint klein en wordt groot, omdat de groei exponentieel is in plaats van lineair. Hetzelfde mechanisme werkt tegen je bij schulden zoals creditcards, waar onbetaalde rente bij je schuld wordt opgeteld.

De formule A = P(1 + r/n)^(nt)

A is het eindbedrag, P het startbedrag, r de jaarrente als decimaal (5% is 0,05), n het aantal keer per jaar dat rente wordt bijgeschreven en t het aantal jaren. Voorbeeld: 1.000 tegen 5% met maandelijkse bijschrijving gedurende 10 jaar geeft 1.000 × (1 + 0,05/12)^120 ≈ 1.647. Jaarlijks bijschrijven geeft 1.629: vaker bijschrijven helpt dus, maar steeds minder. Laat je n onbeperkt groeien, dan krijg je continue rente, A = Pe^(rt), hier ongeveer 1.649. Periodieke inleg verwerk je door elke storting de resterende tijd mee te laten groeien, en zo rekent de calculator maand voor maand.

De regel van 72

Wil je schatten hoe lang het duurt voordat geld verdubbelt, deel dan 72 door de jaarrente in procenten. Bij 6% is dat 72 / 6 = 12 jaar; exact is het 11,9. Bij 3% duurt het ongeveer 24 jaar, bij 9% ongeveer 8. De regel werkt goed tussen ongeveer 4% en 12%; bij continue rente is 69,3 nauwkeuriger, en bij lage rentes gebruiken sommigen 70. Het werkt ook andersom: om in 10 jaar te verdubbelen heb je ongeveer 7,2% per jaar nodig. Met dezelfde truc zie je hoe snel inflatie je koopkracht halveert: bij 3% inflatie verdubbelen prijzen in ongeveer 24 jaar. Luca Pacioli beschreef de regel al in 1494.

Geschiedenis - van Fibonacci tot Bernoulli en e

Rente op leningen staat al op Babylonische kleitabletten van zo'n 4.000 jaar geleden, en sommige vragen al hoe lang het duurt voordat een schuld verdubbelt. In 1202 nam Leonardo van Pisa, bekend als Fibonacci, uitgewerkte opgaven over rente en samengestelde groei op in zijn Liber Abaci, het boek dat ook de Hindoe-Arabische cijfers naar Europese kooplieden bracht. In 1683 vroeg Jacob Bernoulli zich af wat er gebeurt als 100% rente per jaar steeds vaker wordt bijgeschreven: twee keer per jaar geeft 2,25, maandelijks 2,613, dagelijks 2,7146. Hij zag dat (1 + 1/n)^n naar een vaste grens tussen 2 en 3 gaat. Leonhard Euler noemde die later e, liet zien dat ze ongeveer 2,71828 is en maakte haar tot een kernbegrip van de wiskunde, van continue rente tot natuurlijke groei en verval.

Veelgestelde vragen

Maakt vaker rente bijschrijven veel uit?

Minder dan de meeste mensen denken. Bij 5% per jaar geeft jaarlijks bijschrijven effectief 5,00%, maandelijks 5,12% en continu 5,13%. De rente zelf, de looptijd en je inleg tellen veel zwaarder.

Waarom maakt vroeg beginnen zoveel uit?

Omdat de meeste groei aan het eind plaatsvindt. Bij 7% verdubbelt geld ongeveer elke 10 jaar, dus 40 jaar levert zo'n 16 keer het beginbedrag op en 30 jaar maar 8 keer. Tien extra jaren aan het begin kunnen meer waard zijn dan tientallen jaren extra sparen later.

Waarom hangt e samen met rente?

Omdat e via rente is ontdekt. Groeit 1 tegen 100% per jaar en wordt de rente oneindig vaak bijgeschreven, dan is de uitkomst na een jaar precies e, ongeveer 2,718. Daarom gebruikt continue rente e^(rt).