Sobre os juros compostos | Fórmula, regra dos 72 e história

Juros simples e compostos

Com juros simples recebe-se apenas sobre o valor original. Aplique 1000 a 5% e recebe 50 por ano, ficando com 2000 ao fim de 20 anos. Com juros compostos, os juros de cada ano somam-se ao saldo e também rendem: o primeiro ano dá 50, o segundo 52,50, e após 20 anos o saldo é de cerca de 2653. A diferença começa pequena e torna-se grande, porque o crescimento é exponencial em vez de linear. O mesmo mecanismo joga contra si nas dívidas, como cartões de crédito, onde os juros não pagos se somam ao que deve.

A fórmula A = P(1 + r/n)^(nt)

A é o montante final, P o inicial, r a taxa anual em decimal (5% é 0,05), n o número de capitalizações por ano e t o número de anos. Exemplo: 1000 a 5% com capitalização mensal durante 10 anos dão 1000 × (1 + 0,05/12)^120 ≈ 1647. Com capitalização anual obtém-se 1629: capitalizar mais vezes ajuda, mas cada vez menos. Se n crescer sem limite, obtém-se a capitalização contínua A = Pe^(rt), aqui cerca de 1649. As contribuições regulares são tratadas fazendo crescer cada depósito durante o tempo restante, tal como a calculadora faz mês a mês.

A regra dos 72

Para estimar quanto tempo o dinheiro leva a duplicar, divida 72 pela taxa anual em percentagem. A 6% são 72 / 6 = 12 anos; o valor exato é 11,9. A 3% são cerca de 24 anos e a 9% cerca de 8. A regra funciona bem entre cerca de 4% e 12%; com capitalização contínua, 69,3 é mais preciso, e para taxas baixas há quem use 70. Também funciona ao contrário: para duplicar em 10 anos precisa de cerca de 7,2% ao ano. O mesmo truque mostra a rapidez com que a inflação reduz o poder de compra para metade: com 3% de inflação os preços duplicam em cerca de 24 anos. Luca Pacioli já descreveu a regra em 1494.

História - de Fibonacci a Bernoulli e e

Os juros sobre empréstimos já aparecem em tábuas de argila babilónicas de há cerca de 4000 anos, e algumas perguntam quanto tempo uma dívida leva a duplicar. Em 1202, Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci, incluiu problemas resolvidos de juros e crescimento composto no seu Liber Abaci, o livro que também levou os algarismos indo-arábicos aos mercadores europeus. Em 1683, Jacob Bernoulli perguntou o que acontece se juros de 100% ao ano forem somados cada vez mais vezes: duas vezes por ano dá 2,25, mensalmente 2,613, diariamente 2,7146. Viu que (1 + 1/n)^n se aproxima de um limite fixo entre 2 e 3. Leonhard Euler chamou-lhe mais tarde e, mostrou que vale cerca de 2,71828 e tornou-o central na matemática, da capitalização contínua ao crescimento e decaimento naturais.

Perguntas frequentes

Capitalizar mais vezes faz muita diferença?

Menos do que se pensa. A 5% ao ano, a capitalização anual dá 5,00% efetivos, a mensal 5,12% e a contínua 5,13%. A taxa, o prazo e o que contribui contam muito mais.

Porque é que começar cedo importa tanto?

Porque a maior parte do crescimento acontece no fim. A 7%, o dinheiro duplica cerca de 10 em 10 anos, por isso 40 anos dão cerca de 16 vezes o valor inicial e 30 anos apenas 8. Dez anos a mais no início podem valer mais do que décadas de poupança extra depois.

Porque é que e está ligado aos juros?

Porque foi descoberto através dos juros. Se 1 crescer a 100% ao ano e os juros forem somados infinitas vezes, o resultado após um ano é exatamente e, cerca de 2,718. É por isso que a capitalização contínua usa e^(rt).