복리, 피보나치에서 수 e까지
복리란 모은 돈뿐 아니라 이미 받은 이자에도 이자가 붙는 것입니다. 단리와 어떻게 다른지, 표준 공식이 어떻게 작동하는지, 두 배가 되는 기간을 빠르게 구하는 규칙, 그리고 이를 밝혀낸 수학자들을 소개합니다.
단리와 복리
단리는 원금에만 이자가 붙습니다. 1,000을 5%로 맡기면 매년 50을 받아 20년 후 2,000이 됩니다. 복리는 해마다 이자를 잔액에 더해 그 이자에도 이자가 붙습니다. 첫해는 똑같이 50이지만 둘째 해는 52.50이 되고, 20년 후 잔액은 약 2,653입니다. 성장이 선형이 아니라 지수적이기 때문에 차이는 작게 시작해 커집니다. 같은 원리가 신용카드 같은 빚에서는 불리하게 작용해, 갚지 않은 이자가 빚에 더해집니다.
공식 A = P(1 + r/n)^(nt)
A는 최종 금액, P는 원금, r은 소수로 나타낸 연이율(5%는 0.05), n은 1년에 이자가 붙는 횟수, t는 연수입니다. 예: 1,000을 연 5%, 월복리로 10년 두면 1,000 × (1 + 0.05/12)^120 ≈ 1,647이 됩니다. 연복리는 1,629이므로 더 자주 복리를 적용하면 유리하지만 그 효과는 점점 줄어듭니다. n이 한없이 커지면 연속복리 A = Pe^(rt)가 되며, 여기서는 약 1,649입니다. 정기 납입은 각 입금액이 남은 기간 동안 불어나도록 계산하며, 계산기도 매달 이렇게 계산합니다.
72의 법칙
돈이 두 배가 되는 기간을 어림하려면 72를 연이율(%)로 나눕니다. 6%라면 72 / 6 = 12년이며, 정확한 값은 11.9년입니다. 3%면 약 24년, 9%면 약 8년입니다. 이 규칙은 대략 4%에서 12% 사이에서 잘 맞습니다. 연속복리에는 69.3이 더 정확하고, 낮은 이율에서는 70을 쓰는 사람도 있습니다. 거꾸로도 쓸 수 있습니다. 10년 안에 두 배로 만들려면 연 약 7.2%가 필요합니다. 같은 방법으로 인플레이션이 구매력을 얼마나 빨리 절반으로 줄이는지도 알 수 있습니다. 인플레이션이 3%면 물가는 약 24년 만에 두 배가 됩니다. 루카 파촐리는 이미 1494년에 이 규칙을 기술했습니다.
역사 - 피보나치에서 베르누이와 e까지
약 4,000년 전 바빌로니아 점토판에 이미 대출 이자가 등장하며, 일부는 빚이 두 배가 되는 기간을 묻고 있습니다. 1202년 피보나치로 알려진 피사의 레오나르도는 유럽 상인들에게 인도-아라비아 숫자를 알린 책 『산반서』(Liber Abaci)에 이자와 복리 성장에 관한 풀이 문제를 실었습니다. 1683년 야코프 베르누이는 연 100%의 이자를 점점 더 자주 붙이면 어떻게 될지 물었습니다. 1년에 두 번이면 2.25, 매달이면 2.613, 매일이면 2.7146입니다. 그는 (1 + 1/n)^n이 2와 3 사이의 일정한 극한에 가까워진다는 것을 알아냈습니다. 훗날 레온하르트 오일러가 이를 e라고 이름 붙이고 약 2.71828임을 보였으며, 연속복리부터 자연적인 성장과 감쇠까지 수학의 핵심으로 만들었습니다.
자주 묻는 질문
복리를 더 자주 적용하면 차이가 큰가요?
생각보다 크지 않습니다. 연 5%일 때 연복리의 실효 이율은 5.00%, 월복리는 5.12%, 연속복리는 5.13%입니다. 이율 자체, 기간, 납입액이 훨씬 중요합니다.
왜 일찍 시작하는 것이 그렇게 중요한가요?
성장의 대부분이 끝 무렵에 일어나기 때문입니다. 연 7%라면 돈은 약 10년마다 두 배가 되어 40년이면 원금의 약 16배, 30년이면 8배에 그칩니다. 처음의 10년이 나중에 수십 년 더 저축하는 것보다 가치가 클 수 있습니다.
왜 e가 이자와 관련이 있나요?
e가 바로 이자를 통해 발견되었기 때문입니다. 1이 연 100%로 불어나고 이자가 무한히 자주 붙으면, 1년 뒤 결과는 정확히 e, 약 2.718이 됩니다. 그래서 연속복리에 e^(rt)를 씁니다.
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