О сложных процентах | Формула, правило 72 и история

Простые и сложные проценты

При простых процентах доход начисляется только на исходную сумму. Положите 1000 под 5%, и вы будете получать 50 в год, а через 20 лет у вас будет 2000. При сложных процентах доход каждого года добавляется к остатку и тоже приносит проценты: первый год даёт те же 50, второй уже 52,50, а через 20 лет остаток составит около 2653. Разница сначала мала, а потом становится большой, потому что рост экспоненциальный, а не линейный. Тот же механизм работает против вас в долгах, например по кредитным картам, где неуплаченные проценты добавляются к долгу.

Формула A = P(1 + r/n)^(nt)

A это итоговая сумма, P это начальная сумма, r это годовая ставка в виде десятичной дроби (5% это 0,05), n это число начислений в год, t это число лет. Пример: 1000 под 5% с ежемесячной капитализацией на 10 лет дают 1000 × (1 + 0,05/12)^120 ≈ 1647. При ежегодной капитализации получится 1629: более частая капитализация помогает, но всё меньше. Если n растёт без предела, получается непрерывное начисление A = Pe^(rt), здесь около 1649. Регулярные взносы учитываются так: каждый взнос растёт оставшееся время, и именно так калькулятор считает месяц за месяцем.

Правило 72

Чтобы оценить, за сколько лет деньги удвоятся, разделите 72 на годовую ставку в процентах. При 6% это 72 / 6 = 12 лет; точный ответ 11,9. При 3% примерно 24 года, при 9% около 8. Правило хорошо работает примерно от 4% до 12%; при непрерывном начислении точнее 69,3, а для низких ставок некоторые берут 70. Оно работает и в обратную сторону: чтобы удвоить сумму за 10 лет, нужно около 7,2% в год. Тот же приём показывает, как быстро инфляция вдвое снижает покупательную способность: при инфляции 3% цены удваиваются примерно за 24 года. Лука Пачоли описал это правило ещё в 1494 году.

История - от Фибоначчи до Бернулли и e

Проценты по займам встречаются уже на вавилонских глиняных табличках возрастом около 4000 лет, и в некоторых спрашивается, за сколько лет долг удвоится. В 1202 году Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи, включил решённые задачи о процентах и сложном росте в свою «Книгу абака» (Liber Abaci), которая также познакомила европейских купцов с индо-арабскими цифрами. В 1683 году Якоб Бернулли задался вопросом, что будет, если 100% годовых начислять всё чаще: два раза в год даёт 2,25, ежемесячно 2,613, ежедневно 2,7146. Он увидел, что (1 + 1/n)^n стремится к постоянному пределу между 2 и 3. Позже Леонард Эйлер назвал его e, показал, что он примерно равен 2,71828, и сделал его одним из центральных понятий математики, от непрерывного начисления до естественного роста и распада.

Часто задаваемые вопросы

Сильно ли влияет более частая капитализация?

Меньше, чем многие думают. При 5% годовых ежегодная капитализация даёт эффективные 5,00%, ежемесячная 5,12%, непрерывная 5,13%. Ставка, срок и взносы важнее.

Почему так важно начать пораньше?

Потому что основной рост приходится на конец срока. При 7% деньги удваиваются примерно каждые 10 лет, так что за 40 лет сумма вырастет примерно в 16 раз, а за 30 лишь в 8. Десять лишних лет в начале могут стоить больше, чем десятилетия дополнительных накоплений потом.

Почему число e связано с процентами?

Потому что его открыли именно через проценты. Если 1 растёт на 100% в год, а проценты начисляются бесконечно часто, через год получится ровно e, около 2,718. Поэтому непрерывное начисление использует e^(rt).