Paradoxul zilei de naștere

Paradoxul

Întreabă oamenii de câți invitați e nevoie la o petrecere pentru ca doi dintre ei să aibă probabil aceeași zi de naștere, iar cei mai mulți vor spune în jur de 180, jumătate din 365. Răspunsul corect este 23: atunci șansa este de 50,7%. Cu 57 de invitați este de 99%. Se numește paradox nu pentru că ar fi contradictoriu, ci pentru că merge atât de puternic împotriva intuiției noastre.

De ce ne înșală intuiția

Într-o cameră judecăm inconștient pornind de la noi înșine: care este șansa ca cineva să aibă aceeași zi de naștere ca mine? Cu 365 de zile, șansa aceasta este mică. Dar paradoxul este despre toate perechile posibile din cameră, nu despre o potrivire cu o anumită persoană: A și B, B și C, A și C și așa mai departe. Cu 23 de persoane poți forma 253 de perechi diferite și fiecare dintre ele ar putea avea aceeași zi de naștere.

Perechile cresc cu pătratul

n persoane formează n × (n − 1) / 2 perechi: 10 persoane formează 45 de perechi, 23 formează 253, 57 formează 1.596, iar 100 formează 4.950. Fiecare pereche are aceeași zi de naștere cu probabilitatea 1/365, deci 253 de perechi dau în medie 253/365 ≈ 0,69 perechi cu zi de naștere comună. Dacă dublezi grupul, numărul perechilor aproape se împătrește și de aceea șansa unei zile de naștere comune urcă atât de repede.

Calculul pas cu pas

Cea mai simplă cale este să calculezi șansa ca nimeni să nu aibă aceeași zi de naștere cu altcineva și să o scazi din 100%. Prima persoană ocupă orice zi. A doua persoană are o șansă de 364/365 să nu aibă aceeași zi de naștere. A treia are o șansă de 363/365 să difere de primele două și așa mai departe. Pentru 23 de persoane:

365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3%

Pentru că șansa ca toți să aibă zile de naștere diferite este de 49,3%, evenimentul contrar, cel puțin o zi de naștere comună, are probabilitatea 100% − 49,3% = 50,7%.

Cineva cu ziua ta de naștere

Șansa ca cineva să aibă aceeași zi de naștere ca tine este o altă întrebare. Fiecare dintre celelalte n − 1 persoane ratează ziua ta de naștere cu probabilitatea 364/365, deci șansa ca cineva să o aibă este 1 − (364/365)ⁿ⁻¹. Cu 23 de persoane, aceasta este de doar 5,9%, iar ca să treacă de 50% îți trebuie alți 253. Doar 22 dintre cele 253 de perechi dintr-un grup de 23 te includ pe tine.

Regula rădăcinii pătrate și atacurile zilei de naștere

Pentru N valori la fel de probabile, o repetare devine probabilă după aproximativ 1,2 × √N extrageri: √365 ≈ 19, iar 1,2 × 19 ≈ 23. Acest lucru contează foarte mult în securitatea informatică. Atacatorii folosesc atacuri ale zilei de naștere ca să găsească două intrări cu același hash criptografic, adică o coliziune, de exemplu pentru a falsifica o semnătură digitală. Datorită paradoxului zilei de naștere, au nevoie de mult mai puține încercări decât sugerează intuiția: aproximativ 2⁶⁴ pentru un hash de 128 de biți în loc de 2¹²⁸. De aceea funcțiile hash moderne, precum SHA-256, au rezultate lungi.

Explorează-l în PictorX

Deschide Paradoxul zilei de naștere și un grup de 23 de persoane se formează pe un cerc, câte o persoană pe rând. Fiecare nou-venit adaugă o linie spre fiecare persoană deja prezentă, iar legenda numără perechile. Zilele lor de naștere cad pe un calendar, iar o zi cu două sau mai multe se aprinde. Dedesubt, calculul pentru mărimea grupului stă alături de ponderea grupurilor testate care au avut o zi de naștere comună, iar graficul arată șansa pentru fiecare mărime de grup, pentru oricare două persoane și pentru cineva cu ziua ta de naștere. Adaugă persoane una câte una, alege între 2 și 366 de persoane, testează până la 100.000 de grupuri, cu până la 10.000 pe secundă, sau testează toate mărimile de grup și urmărește cum punctele desenează curba.