जन्मदिन विरोधाभास

विरोधाभास

लोगों से पूछिए कि किसी पार्टी में कितने मेहमान होने चाहिए कि उनमें से दो का जन्मदिन शायद एक ही हो, तो ज़्यादातर कहेंगे लगभग 180, यानी 365 का आधा। सही उत्तर 23 है: तब प्रायिकता 50.7% होती है। 57 मेहमानों के साथ यह 99% है। इसे विरोधाभास इसलिए नहीं कहते कि इसमें कोई अंतर्विरोध है, बल्कि इसलिए कि यह हमारे अंतर्ज्ञान के इतना ज़्यादा उलट जाता है।

अंतर्ज्ञान क्यों चूक जाता है

किसी कमरे में हम अनजाने में खुद से शुरू करके सोचते हैं: इसकी क्या प्रायिकता है कि किसी का जन्मदिन मेरे जन्मदिन पर हो? 365 दिनों के साथ यह प्रायिकता छोटी है। लेकिन विरोधाभास कमरे के सभी संभव जोड़ों के बारे में है, किसी एक ख़ास व्यक्ति से मेल के बारे में नहीं: A और B, B और C, A और C, और इसी तरह आगे। 23 लोगों से 253 अलग-अलग जोड़े बनाए जा सकते हैं, और उनमें से हर जोड़े का जन्मदिन एक ही हो सकता है।

जोड़े वर्ग के साथ बढ़ते हैं

n लोगों से n × (n − 1) / 2 जोड़े बनते हैं: 10 लोगों से 45 जोड़े, 23 से 253, 57 से 1,596 और 100 से 4,950। हर जोड़े का जन्मदिन 1/365 प्रायिकता से एक ही होता है, इसलिए 253 जोड़ों में औसतन 253/365 ≈ 0.69 जोड़े ऐसे होते हैं जिनका जन्मदिन एक है। समूह को दोगुना करने पर जोड़े लगभग चार गुना हो जाते हैं, और इसीलिए साझा जन्मदिन की प्रायिकता तेज़ी से ऊपर जाती है।

कदम दर कदम गणना

सबसे आसान तरीक़ा है उस प्रायिकता को निकालना कि किसी का भी जन्मदिन मेल न खाए, और उसे 100% से घटाना। पहला व्यक्ति कोई भी दिन ले लेता है। दूसरे व्यक्ति का जन्मदिन उसी दिन न होने की प्रायिकता 364/365 है। तीसरे के पहले दो से अलग होने की प्रायिकता 363/365 है, और इसी तरह आगे। 23 लोगों के लिए:

365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49.3%

क्योंकि सबके जन्मदिन अलग-अलग होने की प्रायिकता 49.3% है, इसलिए इसकी उलटी घटना, यानी कम से कम एक साझा जन्मदिन, की प्रायिकता 100% − 49.3% = 50.7% है।

आपके जन्मदिन वाला कोई

किसी का जन्मदिन ठीक आपके जन्मदिन पर होना एक अलग प्रश्न है। बाकी n − 1 लोगों में से हर एक 364/365 प्रायिकता से आपका जन्मदिन चूक जाता है, इसलिए किसी का जन्मदिन आपके जन्मदिन पर होने की प्रायिकता 1 − (364/365)ⁿ⁻¹ है। 23 लोगों के साथ यह सिर्फ़ 5.9% है, और इसके 50% पार करने से पहले आपको 253 दूसरे लोग चाहिए। 23 लोगों के समूह के 253 जोड़ों में से सिर्फ़ 22 में आप शामिल हैं।

वर्गमूल नियम और जन्मदिन हमले

N समान रूप से संभावित मानों में से लगभग 1.2 × √N बार निकालने के बाद किसी मान का दोहराव संभावित हो जाता है: √365 ≈ 19, और 1.2 × 19 ≈ 23। कंप्यूटर सुरक्षा में इसका बहुत महत्व है। हमलावर एक ही क्रिप्टोग्राफ़िक हैश वाले दो इनपुट, यानी एक टकराव, खोजने के लिए जन्मदिन हमलों का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए किसी डिजिटल हस्ताक्षर की जालसाज़ी करने के लिए। जन्मदिन विरोधाभास के कारण उन्हें अंतर्ज्ञान के अनुमान से कहीं कम प्रयास चाहिए: 128-बिट हैश के लिए 2¹²⁸ के बजाय लगभग 2⁶⁴। इसीलिए SHA-256 जैसे आधुनिक हैश के आउटपुट लंबे होते हैं।

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जन्मदिन विरोधाभास खोलें, और 23 लोगों का एक समूह एक घेरे पर बनता है, एक बार में एक व्यक्ति। हर नया व्यक्ति पहले से मौजूद हर व्यक्ति तक एक रेखा जोड़ता है, और कैप्शन जोड़ों को गिनता है। उनके जन्मदिन एक कैलेंडर पर गिरते हैं, और जिस दिन दो या ज़्यादा जन्मदिन हों वह चमक उठता है। नीचे, उस समूह आकार की गणना जाँचे गए समूहों के उस हिस्से के बगल में दिखती है जिनमें कोई साझा जन्मदिन था, और चार्ट हर समूह आकार के लिए प्रायिकता दिखाता है, किन्हीं भी दो लोगों के लिए और आपके जन्मदिन वाले किसी व्यक्ति के लिए। लोगों को एक-एक करके जोड़ें, 2 से 366 लोग चुनें, 10,000 प्रति सेकंड तक की रफ़्तार से 100,000 तक समूह जाँचें, या हर समूह आकार जाँचें और बिंदुओं को वक्र बनाते देखें।