مفارقة عيد الميلاد

المفارقة

اسأل الناس كم ضيفًا يلزم في حفلة حتى يُرجَّح أن يشترك اثنان منهم في عيد الميلاد، وسيقول معظمهم نحو 180، أي نصف 365. والجواب الصحيح 23: عندها يبلغ الاحتمال 50.7%. ومع 57 ضيفًا يبلغ 99%. وتُسمى مفارقة لا لأنها متناقضة، بل لأنها تخالف حدسنا بشدة.

لماذا يخذلنا الحدس

في الغرفة نفكر دون وعي انطلاقًا من أنفسنا: ما احتمال أن يشاركني أحدٌ عيد ميلادي؟ مع 365 يومًا يكون هذا الاحتمال صغيرًا. لكن المفارقة تتعلق بكل الأزواج الممكنة في الغرفة، لا بالتطابق مع شخص بعينه: A وB، وB وC، وA وC، وهكذا. ومع 23 شخصًا يمكنك تكوين 253 زوجًا مختلفًا، وكل زوج منها قد يشترك في عيد الميلاد.

الأزواج تنمو مع المربع

عدد الأزواج بين n من الأشخاص هو n × (n − 1) / 2: فعشرة أشخاص يكوّنون 45 زوجًا، و23 يكوّنون 253، و57 يكوّنون 1596، و100 يكوّنون 4950. يشترك كل زوج في عيد الميلاد باحتمال 1/365، لذا يبلغ عدد الأزواج المشتركة بين 253 زوجًا في المتوسط 253/365 ≈ 0.69. ومضاعفة المجموعة تضاعف عدد الأزواج أربع مرات تقريبًا، ولهذا يقفز احتمال عيد الميلاد المشترك بسرعة.

الحساب خطوة بخطوة

أسهل طريقة هي حساب احتمال ألا يشترك أحد في عيد الميلاد، ثم طرحه من 100%. يأخذ الشخص الأول أي يوم. وللشخص الثاني احتمال 364/365 ألا يكون عيد ميلاده في اليوم نفسه. وللثالث احتمال 363/365 أن يختلف عن الأولين، وهكذا. مع 23 شخصًا:

365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49.3%

ولأن احتمال أن تختلف أعياد ميلاد الجميع هو 49.3%، فإن احتمال الحدث المعاكس، أي عيد ميلاد مشترك واحد على الأقل، هو 100% − 49.3% = 50.7%.

شخص يشاركك عيد ميلادك

احتمال أن يشاركك أحدٌ عيد ميلادك أنت سؤال مختلف. فكل واحد من الأشخاص الآخرين، وعددهم n − 1، لا يقع عيد ميلاده في يومك باحتمال 364/365، لذا فاحتمال أن يشاركك أحدهم عيد ميلادك هو 1 − (364/365)ⁿ⁻¹. مع 23 شخصًا لا يتجاوز ذلك 5.9%، وتحتاج إلى 253 شخصًا آخر قبل أن يتجاوز 50%. ومن بين الأزواج الـ253 في مجموعة من 23 شخصًا، لا يضمّك إلا 22 زوجًا.

قاعدة الجذر التربيعي وهجمات عيد الميلاد

مع N من القيم المتساوية الاحتمال، يصبح التكرار مرجحًا بعد نحو 1.2 × √N من السحبات: √365 ≈ 19، ثم 1.2 × 19 ≈ 23. ولهذا أهمية كبيرة في أمن الحاسوب. يستخدم المهاجمون هجمات عيد الميلاد للعثور على مُدخلين لهما قيمة التجزئة التشفيرية نفسها، أي تصادم، مثلًا لتزوير توقيع رقمي. وبفضل مفارقة عيد الميلاد يحتاجون إلى محاولات أقل بكثير مما يوحي به الحدس: نحو 2⁶⁴ لتجزئة بطول 128 بت بدلًا من 2¹²⁸. ولهذا تملك دوال التجزئة الحديثة مثل SHA-256 مخرجات طويلة.

استكشفها في PictorX

افتح مفارقة عيد الميلاد فتتكوّن مجموعة من 23 شخصًا على دائرة، شخصًا بعد شخص. كل وافد جديد يضيف خطًا إلى كل شخص موجود قبله، ويَعُدّ التعليق الأزواج. تسقط أعياد ميلادهم على تقويم، ويضيء اليوم الذي يقع فيه عيدا ميلاد أو أكثر. وفي الأسفل يظهر حساب حجم المجموعة بجانب نسبة المجموعات المختبرة التي كان فيها عيد ميلاد مشترك، ويعرض المخطط البياني الاحتمال لكل حجم مجموعة، لأي شخصين ولشخص يشاركك عيد ميلادك. أضف الأشخاص واحدًا تلو الآخر، أو اختر من 2 إلى 366 شخصًا، أو اختبر حتى 100,000 مجموعة بسرعة تصل إلى 10,000 في الثانية، أو اختبر كل أحجام المجموعات وشاهد النقاط ترسم المنحنى.