N体系について | 動くニュートンの重力

アプリが使う形のニュートンの法則

2つの質量のあいだの力は F = G m₁ m₂ / r² で、SI 単位では G = 6.67430 × 10⁻¹¹ です。G = 1 と相対質量を使うと図が読みやすくなり、軌道の形は変わりません。アプリは各ステップで、天体 i の加速度を、G に他の各天体 j についての mⱼ (rⱼ − rᵢ) / |rⱼ − rᵢ|³ の和を掛けたものとして計算します。正面衝突でゼロ除算にならないよう、平方根の中に小さなソフトニング長を加えます。

お気に入りが見せるもの

「二体」は1本の円軌道で、ケプラーの法則の基本となる設定です。「惑星と衛星」は小さな軌道を大きな軌道の中に入れ子にします。衛星のループが見えるよう、惑星は実際の木星より重くしてあります。「連星」は共通の重心を回り、1つの惑星が両方の周りを回ります。「8の字」は等しい3つの質量の周期的な舞です。「1:2:4 共鳴」は3つの衛星を周期 1 : 2 : 4 に置きます。イオ、エウロパ、ガニメデのラプラス共鳴です。「トロヤ群」は正三角形の点 L4 と L5 の近くにあります。「スイングバイ」は重力アシストです。「放出」は、まだ連星に束縛されている訪問者から始まり、その訪問者が去って終わります。「星団」は重力だけの世界で、天体は接触すると合体し、いくつかは弾き出されます。

エネルギー、角運動量、離心率

全エネルギーは運動エネルギーと重力ポテンシャルの和です。ポテンシャルは負で、束縛された系では合計も負になります。表示されるのは軌道面に垂直な軸のまわりの角運動量で、質量に (x vᵧ − y vₓ) を掛けたものの和です。力は保存力で、各組を結ぶ線に沿って働くので、どちらもほぼ一定に保たれます。天体をクリックすると軌道が描かれ、その天体が回っている相手に対する離心率が分かります。相手とは、いちばん強く引く天体と、連星のもう一つの星のようなその近くの相方を合わせたものです。0 に近ければ円、0 と 1 のあいだなら楕円、1 を超えると脱出です。

3次元の軌道

天体は平らな面の上ではなく、3次元の中を動きます。お気に入りの「惑星と衛星」では、本物の月と同じく、衛星の軌道が惑星の軌道に対して 5.1° 傾いています。星団は厚い円盤の形で始まるので、天体は中央の平面の上下にも動きます。数値表示の軌道傾斜角 i は、クリックした天体の軌道の傾きです。図をドラッグして回転させるか、「表示」で「真横から」を選ぶと、軌道を横から見られます。

よくある質問

なぜ一部の天体は画面の外へ飛んでいくのですか？

カメラはまだ系の中にある天体を追います。放出された天体は軌跡を残したまま画面の外へ出ます。ビューをダブルクリックすると系全体が再び収まり、スクロールでズームアウトできます。

エネルギーの数値は信頼できますか？

なめらかな軌道ではドリフトはほぼゼロのままです。接近通過、大きな時間ステップ、合体があると値が動きます。お気に入りの動きがギザギザに見えてきたら、時間ステップを小さくしてください。

三体問題に厳密な解はありますか？

一般にはありません。2体ならケプラーの楕円をたどりますが、3体以上ではすべての場合に使える公式がないので、このアプリのように運動を1ステップずつ計算します。特別な解はいくつかあり、トロヤ群のもとになっているラグランジュの正三角形解や、2000 年に Chenciner と Montgomery が証明した8の字解がその例です。

PictorX はシミュレーションをアップロードしますか？

いいえ。ブラウザー内のキャンバスで動きます。「保存」で PNG をダウンロードし、「編集」でその画像を PictorX エディターで開きます。