El juego del 15
El juego del 15 es un marco con quince fichas numeradas y un hueco. Desliza las fichas hasta volver a ordenarlas y está resuelto. Parece sencillo, pero en 1880 desató una fiebre, y detrás se esconde una de las demostraciones más elegantes de la matemática recreativa: la mitad de las posiciones no se puede resolver nunca.
La fiebre de 1880
El rompecabezas viene del estado de Nueva York, de la década de 1870; Noyes Chapman, jefe de correos de Canastota, suele figurar como su inventor. A principios de 1880 se convirtió en una fiebre, primero en todo Estados Unidos y luego en Europa.
El 14-15 de Sam Loyd
El creador de acertijos estadounidense Sam Loyd afirmó más tarde que él había inventado el rompecabezas, y habló de un premio de 1.000 dólares para quien lograra resolverlo con solo el 14 y el 15 intercambiados. Nadie ganó el premio, y nadie podía: esa posición no tiene solución. Su afirmación de haberlo inventado tampoco era cierta.
Por qué la mitad de las posiciones son imposibles
Trata el hueco como una decimosexta ficha. Cada deslizamiento intercambia el hueco con una ficha. Para volver a su esquina, el hueco debe moverse tantas veces a la izquierda como a la derecha y tantas veces hacia arriba como hacia abajo, así que una posición con el hueco en su esquina siempre está a un número par de intercambios del orden resuelto. Intercambiar el 14 y el 15 es un solo intercambio, que es impar, así que ningún deslizamiento puede llegar a esa posición. En 1879, William Johnson y William Story demostraron que se puede llegar exactamente a la mitad de todas las disposiciones.
Una prueba para cualquier posición
Cuenta los pares de fichas que están en el orden equivocado cuando lees el marco fila a fila. En un tablero de 3×3 o de 5×5, una posición tiene solución cuando ese recuento es par. En un tablero de 4×4, suma la fila del hueco contada desde abajo: la posición tiene solución cuando la suma es impar.
Resolverlo por ordenador
Un ordenador puede buscar un camino de vuelta con A*, que siempre examina primero la posición más prometedora. Estima los movimientos que aún faltan a partir de la distancia de cada ficha a su casilla de destino, más dos movimientos por cada par de fichas que se bloquean entre sí en su propia fila o columna. Encontrar la solución más corta se vuelve muy difícil en tableros grandes. Las posiciones más difíciles del juego del 15 necesitan 80 movimientos, y el juego del 8 nunca necesita más de 31.
Pruébalo en PictorX
Abre el Juego del 15 y haz clic en una ficha para deslizarla. Barajar mezcla las fichas en una nueva posición que tiene solución, Resolver reproduce una solución movimiento a movimiento, y «Mostrar fichas en su sitio» colorea los números de las fichas que ya están colocadas. Elige «14-15 de Loyd» para ver la posición imposible, y usa Tamaño para cambiar entre 3×3, 4×4 y 5×5.
Preguntas frecuentes
¿Quién inventó el juego del 15?
Se suele señalar como inventor a Noyes Chapman, jefe de correos de Canastota, Nueva York, en la década de 1870. La posterior afirmación de Sam Loyd de haberlo inventado era falsa.
¿Tiene solución el rompecabezas 14-15?
No. Está a un intercambio del orden resuelto, y toda posición a la que pueden llegar los deslizamientos está a un número par de intercambios.
¿Cuántas posiciones tiene el juego del 15?
Las 16 casillas se pueden llenar de 20.922.789.888.000 formas. Exactamente a la mitad de ellas, 10.461.394.944.000, se puede llegar deslizando fichas.
¿PictorX sube algo?
No. El rompecabezas se dibuja en un lienzo en tu navegador. Guardar descarga un PNG, y Editar abre esa imagen en el editor de PictorX.
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Juega en tu navegador al clásico juego del 15, el rompecabezas de fichas deslizantes de madera, en 3×3, 4×4 o 5×5. Baraja, desliza filas enteras de una vez, prueba el imposible 14-15 de Sam Loyd o mira cómo Resolver lo termina.
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