15 पहेली के बारे में | इतिहास, समता और सैम लॉयड का 14-15

1880 की दीवानगी

यह पहेली 1870 के दशक में न्यूयॉर्क राज्य से आई; कैनास्टोटा के पोस्टमास्टर नॉयस चैपमैन को आम तौर पर इसका आविष्कारक माना जाता है। 1880 की शुरुआत में यह एक दीवानगी बन गई, पहले पूरे संयुक्त राज्य अमेरिका में और फिर यूरोप में।

सैम लॉयड का 14-15

अमेरिकी पहेली निर्माता सैम लॉयड ने बाद में दावा किया कि इस पहेली का आविष्कार उन्होंने किया था, और 1,000 डॉलर के इनाम की बात कही, उस व्यक्ति के लिए जो इसे केवल 14 और 15 की अदला-बदली वाली स्थिति से हल कर दे। किसी ने इनाम नहीं जीता, और कोई जीत भी नहीं सकता था: वह स्थिति हल नहीं हो सकती। आविष्कार का उनका दावा भी सच नहीं था।

आधी स्थितियाँ असंभव क्यों हैं

खाली जगह को सोलहवीं टाइल मान लें। हर बार खिसकाने पर खाली जगह की एक टाइल से अदला-बदली होती है। अपने कोने में लौटने के लिए खाली जगह को जितनी बार बाएँ जाना होता है उतनी ही बार दाएँ, और जितनी बार ऊपर उतनी ही बार नीचे, इसलिए कोने में खाली जगह वाली कोई भी स्थिति हल किए हुए क्रम से हमेशा सम संख्या की अदला-बदलियों की दूरी पर होती है। 14 और 15 की अदला-बदली एक अदला-बदली है, जो विषम है, इसलिए खिसकाकर वहाँ तक कभी नहीं पहुँचा जा सकता। 1879 में विलियम जॉनसन और विलियम स्टोरी ने साबित किया कि सभी व्यवस्थाओं में से ठीक आधी तक पहुँचा जा सकता है।

किसी भी स्थिति की जाँच

ट्रे को पंक्ति-दर-पंक्ति पढ़ते हुए उन टाइल-जोड़ों को गिनें जो गलत क्रम में हैं। 3×3 या 5×5 बोर्ड पर कोई स्थिति तब हल हो सकती है जब यह गिनती सम हो। 4×4 बोर्ड पर इसमें नीचे से गिनी गई खाली जगह की पंक्ति जोड़ें: स्थिति तब हल हो सकती है जब योग विषम हो।

कंप्यूटर से हल

कंप्यूटर A* से वापसी का रास्ता खोज सकता है, जो हमेशा सबसे आशाजनक स्थिति को पहले देखता है। यह बची हुई चालों का अनुमान इससे लगाता है कि हर टाइल अपने घर से कितनी दूर है, साथ ही टाइलों के हर उस जोड़े के लिए दो चालें जो अपनी ही पंक्ति या स्तंभ में एक-दूसरे का रास्ता रोकते हैं। बड़े बोर्डों पर सबसे छोटा हल ढूँढना बहुत कठिन हो जाता है। 15 पहेली की सबसे कठिन स्थितियों को 80 चालें चाहिए, और 8 पहेली को कभी 31 से ज़्यादा नहीं चाहिए।

PictorX में आज़माएँ

15 पहेली खोलें और किसी टाइल को खिसकाने के लिए उस पर क्लिक करें। ‘शफ़ल’ टाइलों को मिलाकर एक नई स्थिति बनाता है जो हल हो सकती है, ‘हल करें’ एक हल को चाल-दर-चाल चलाता है, और ‘सही टाइलें दिखाएँ’ उन टाइलों के नंबर रंग देता है जो पहले से अपनी जगह पर हैं। असंभव स्थिति देखने के लिए ‘लॉयड का 14-15’ चुनें, और 3×3, 4×4 और 5×5 के बीच बदलने के लिए ‘आकार’ का उपयोग करें।