Torre de Hanói
La Torre de Hanói es un rompecabezas matemático clásico. Tres varillas, una pila de discos de distintos tamaños y dos reglas estrictas: mueve un disco cada vez y nunca pongas un disco más grande sobre uno más pequeño.
Tres varillas y un cono de discos
El tablero tiene tres varillas. Los discos son todos de tamaños distintos y se insertan en las varillas. Al principio, todo el juego está en una varilla, ordenado por tamaño, el más grande abajo y el más pequeño arriba, de modo que la pila forma un cono. El objetivo es mover toda esa torre a otra varilla.
Las tres reglas
1. Mueve un solo disco cada vez. 2. Un movimiento toma el disco de arriba de una pila y lo pone en otra pila, o en una varilla vacía. 3. Un disco más grande nunca puede quedar sobre uno más pequeño. Esas tres reglas son todo el juego. Con ellas, cada posición válida es una forma de repartir los discos entre las varillas manteniendo cada varilla ordenada.
La solución más corta es 2ⁿ − 1
El menor número de movimientos que resuelve una torre de n discos es 2ⁿ − 1. Un disco lleva 1 movimiento. Dos discos llevan 3. Tres llevan 7, cuatro 15 y cinco 31. Cada disco nuevo duplica la solución anterior y añade el movimiento que lleva el disco más grande: si n − 1 discos llevan T movimientos, n discos llevan 2T + 1. Esa recurrencia es exactamente 2ⁿ − 1. Ocho discos, la torre más alta de la aplicación PictorX, llevan 255 movimientos. No hay ningún camino válido más corto.
Cómo funciona la recursión
Para mover n discos de la varilla de salida a la de destino, usando la varilla restante como auxiliar: 1. Mueve los n − 1 discos de arriba de la varilla de salida a la auxiliar. 2. Mueve el disco más grande de la varilla de salida directamente a la de destino. 3. Mueve los n − 1 discos de la varilla auxiliar a la de destino, encima del disco más grande. El paso 2 es válido porque el disco más grande puede ir en cualquier varilla. Los pasos 1 y 3 son el mismo rompecabezas, con un disco menos. La llamada termina en un solo disco, que se mueve una vez. Al desplegarla se obtienen los 2ⁿ − 1 movimientos, y ningún paso pone nunca un disco más grande sobre uno más pequeño.
La leyenda de los 64 discos de oro
El matemático francés Édouard Lucas presentó el rompecabezas en 1883. Con él contaba una leyenda sobre un templo indio en Kashi Vishwanath, donde unos sacerdotes mueven una pila de 64 discos de oro con estas mismas reglas. Cuando se haga el último movimiento, dice la leyenda, el mundo se acabará. Sesenta y cuatro discos llevan 2⁶⁴ − 1 movimientos: 18.446.744.073.709.551.615. A un movimiento perfecto por segundo, día y noche, son unos 585 000 millones de años. Los sacerdotes no van a terminar.
Juega en PictorX
Abre Torre de Hanói y ya hay una torre de cuatro discos en la varilla de salida. Quince movimientos es el mínimo. Arrastra el disco de arriba a otra varilla, o haz clic en una varilla y luego en la que quieras. Las teclas 1, 2 y 3 hacen lo mismo. Un disco más grande sobre uno más pequeño se rechaza. Discos va de 1 a 8, así que puedes comprobar 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127 y 255 con la fórmula. Paso reproduce un movimiento de una solución más corta. Resolver reproduce el resto. «Ver 3 discos» muestra la estrategia recursiva en movimiento. Deshacer y Rehacer recorren tus movimientos. Guarda un PNG o abre el tablero en el editor de PictorX.
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son las reglas de la Torre de Hanói?
Mueve un disco cada vez. Toma el disco de arriba de una varilla y ponlo en otra. Nunca pongas un disco más grande sobre uno más pequeño. Toda la torre empieza en una varilla y debe acabar en otra.
¿Cuántos movimientos lleva la solución más corta?
2ⁿ − 1. Un disco es 1 movimiento, dos discos son 3, tres son 7, cuatro son 15 y cinco son 31. Cada disco añadido duplica la solución anterior y suma un movimiento.
¿Quién inventó la Torre de Hanói?
El matemático francés Édouard Lucas lo presentó en 1883. La historia de los sacerdotes y los 64 discos de oro de Kashi Vishwanath es la leyenda que asoció al rompecabezas.
¿Cuánto tardarían 64 discos?
2⁶⁴ − 1 movimientos, es decir, 18.446.744.073.709.551.615. A un movimiento por segundo, son unos 585 000 millones de años.
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Mueve una torre de discos entre tres varillas en tu navegador. Un disco cada vez, nunca uno grande sobre uno pequeño. La solución más corta son 2ⁿ − 1 movimientos.
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