Doğum günü paradoksu hakkında | Çiftler, hesaplama ve doğum günü saldırıları

Paradoks

İnsanlara bir partide iki misafirin doğum gününün büyük olasılıkla aynı olması için kaç misafir gerektiğini sorun; çoğu, 365’in yarısı olan 180 civarında bir sayı söyler. Doğru yanıt 23’tür: o zaman olasılık %50,7’dir. 57 misafirle %99’dur. Buna paradoks denmesinin nedeni çelişkili olması değil, sezgimize bu kadar güçlü biçimde ters düşmesidir.

Sezgi neden yanılır

Bir odada farkında olmadan kendimizden yola çıkarak düşünürüz: birinin doğum gününün benimkiyle aynı olma olasılığı nedir? 365 günle bu olasılık küçüktür. Ama paradoks belirli bir kişiyle eşleşmeyle değil, odadaki tüm olası çiftlerle ilgilidir: A ile B, B ile C, A ile C ve böyle devam eder. 23 kişiyle 253 farklı çift oluşturabilirsiniz ve bunların her birinin doğum günü aynı olabilir.

Çiftler karesiyle büyür

n kişi n × (n − 1) / 2 çift oluşturur: 10 kişi 45 çift, 23 kişi 253, 57 kişi 1.596 ve 100 kişi 4.950 çift oluşturur. Her çiftte doğum günlerinin aynı olma olasılığı 1/365 olduğundan, 253 çift ortalamada 253/365 ≈ 0,69 ortak doğum günlü çift verir. Grubu ikiye katlamak çift sayısını kabaca dört katına çıkarır; ortak doğum günü olasılığının hızla yükselmesinin nedeni budur.

Adım adım hesaplama

En kolay yol, herkesin doğum gününün farklı olma olasılığını hesaplayıp %100’den çıkarmaktır. İlk kişi herhangi bir günü alır. İkinci kişinin aynı doğum gününe sahip olmama olasılığı 364/365 olur. Üçüncüsünün ilk ikisinden farklı olma olasılığı 363/365 olur ve bu böyle sürer. 23 kişi için:

365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ %49,3

Herkesin doğum gününün farklı olma olasılığı %49,3 olduğuna göre, bunun tersi olan en az bir ortak doğum gününün olasılığı %100 − %49,3 = %50,7’dir.

Doğum günü sizinkiyle aynı olan biri

Birinin doğum gününün sizinkiyle aynı olma olasılığı başka bir sorudur. Diğer n − 1 kişinin her biri 364/365 olasılıkla sizin doğum gününüzü ıskalar; bu yüzden birinin bu güne sahip olma olasılığı 1 − (364/365)ⁿ⁻¹ olur. 23 kişiyle bu yalnızca %5,9’dur ve %50’yi geçmesi için 253 kişi daha gerekir. 23 kişilik bir gruptaki 253 çiftin yalnızca 22’si sizi içerir.

Karekök kuralı ve doğum günü saldırıları

N eşit olasılıklı değer için yaklaşık 1,2 × √N çekilişten sonra bir tekrar olası hâle gelir: √365 ≈ 19 ve 1,2 × 19 ≈ 23. Bu, bilgisayar güvenliğinde çok önemlidir. Saldırganlar, aynı kriptografik hash değerine sahip iki girdi, yani bir çakışma bulmak için doğum günü saldırılarını kullanır; örneğin bir dijital imzayı sahtelemek için. Doğum günü paradoksu sayesinde sezginin söylediğinden çok daha az denemeye ihtiyaç duyarlar: 128 bitlik bir hash fonksiyonu için 2¹²⁸ yerine yaklaşık 2⁶⁴. Bu yüzden SHA-256 gibi modern hash fonksiyonlarının çıktıları uzundur.

PictorX’te keşfedin

Doğum günü paradoksu uygulamasını açın; 23 kişilik bir grup, birer birer bir çember üzerinde oluşur. Her yeni gelen, orada bulunan herkese bir çizgi ekler ve alt yazı çiftleri sayar. Doğum günleri bir takvime düşer ve iki ya da daha fazla doğum gününün denk geldiği gün yanar. Aşağıda grup büyüklüğüne ait hesaplama, ortak doğum günü çıkan test edilmiş grupların oranının yanında durur; grafik ise her grup büyüklüğü için olasılığı hem herhangi iki kişi hem de doğum günü sizinkiyle aynı olan biri için gösterir. Kişileri tek tek ekleyin, 2 ile 366 arasında kişi seçin, saniyede 10.000’e kadar hızla 100.000 gruba kadar test edin ya da tüm grup büyüklüklerini test edip noktaların eğriyi çizmesini izleyin.

Sık sorulan sorular

Doğum günü paradoksu nedir?

Yalnızca 23 kişilik bir grupta ikisinin doğum gününün aynı olma olasılığının %50’den fazla, yani %50,7 olduğu şaşırtıcı gerçektir.

Neden 23 kişi yeterlidir?

Çünkü 23 kişi 253 çift oluşturur ve her çift bir ortak doğum günü şansıdır. Biz ise genellikle yalnızca kendimizin içinde olduğu 22 çifti sayarız.

%99 olasılık için kaç kişi gerekir?

57. 70 kişiyle olasılık %99,9’dur ve 366 kişiyle ortak doğum günü kesindir, çünkü yalnızca 365 gün vardır.

Doğum günü saldırısı nedir?

Kriptografik bir hash fonksiyonuna doğum günü paradoksunu kullanarak yapılan bir saldırıdır: N olası değer içinde, yaklaşık √N rastgele girdiden ikisinin hash değeri büyük olasılıkla aynıdır; bu yüzden çakışmalar, verilen tek bir hash değerini tutturmaya çalışmaktan çok daha çabuk bulunur.

Gerçek doğum günleriyle sonuç değişir mi?

Pek değişmez. Gerçek doğum günleri yıla tam olarak eşit dağılmaz ve eşit olmayan bir dağılım ortak doğum gününü biraz daha olası kılar. Dört yılda bir gelen 29 Şubat neredeyse hiç fark yaratmaz.

İlgili araçlar

Doğum günü paradoksu

23 kişilik bir grupta ikisinin doğum gününün aynı olma olasılığı %50,7’dir; 57 kişide bu olasılık %99’a çıkar. 253 çiftin hepsini, takvimi ve eğriyi görün ve tarayıcınızda binlerce rastgele grubu test edin.

Monty Hall problemi

Monty Hall problemini deneyin: üç kapıdan birini seçin, Monty’nin arkasında keçi olan bir kapıyı açmasını izleyin, sonra kalın ya da değiştirin. Kendiniz oynayın ya da bilgisayara 1.000 oyun oynatın ve değiştirmenin üç oyunun ikisinde kazandığını görün.