О Tessellation | Правильные и архимедовы замощения

Что такое тесселяция?

Тесселяция—также называемая замощением или правильным разбиением плоскости—это искусство полностью заполнять поверхность одной или несколькими фигурами так, чтобы каждое ребро встречало другое. Соты, мозаика ванной и исламский геометрический орнамент—повседневные примеры. Математики спрашивают, какие многоугольники могут делать это бесконечно; художники—насколько далеко эти решётки могут изогнуться к живым фигурам.

Геометрический узор тесселяции, созданный в PictorX

Правильные замощения

Только три выпуклых правильных многоугольника замощают плоскость сами по себе: равносторонний треугольник (вершинная фигура 3.3.3.3.3.3, часто пишут 3⁶), квадрат (4.4.4.4 или 4⁴) и правильный шестиугольник (6.6.6 или 6³). В каждой вершине один и тот же многоугольник встречается одинаково, а внутренние углы дают ровно 360°. В Tessellation они появляются в Topology → Regular как triangle, square и hexagon.

Полуправильные архимедовы замощения

Архимедовы, или полуправильные, замощения по-прежнему используют правильные многоугольники, но в вершине может сходиться больше одного вида—если каждая вершина имеет одну и ту же циклическую последовательность. Их ровно восемь: 3.12.12, 4.6.12, 4.8.8, 3.3.4.3.4, 3.6.3.6, 3.4.6.4, 3.3.3.3.6 и 3.3.3.4.4. Topology → Semi-regular открывает все восемь в PictorX, с именами вроде truncated hexagonal, snub square и rhombitrihexagonal.

Парность рёбер и Edit edge

Простой многоугольник—только начало. Если вдавить одно ребро внутрь и согласовать противоположное наружу—переносом, скольжением или поворотом на 180°—плитка всё ещё замыкается, а узор всё ещё покрывает плоскость. Это геометрическое зерно фигуративных тесселяций вроде ящериц и птиц М.К. Эшера (M.C. Escher). В Tessellation включите Edit edge и тяните ручку на стороне square или hex; Edge pairing выбирает, как отвечает противоположная сторона. Парность glide и rotate лучше всего на квадратах; шестиугольники предпочитают translate.

M.C. Escher, Drawing No. 25 (Lizards)—фигуративная тесселяция из парности рёбер

Попробуйте Tessellation в PictorX

Откройте /tessellation, выберите топологию и тип плитки, задайте размер, обводку, интервалы и непрозрачность контура и красьте режимами flat, alternating, random или gradient. Пресеты Geometric Tiles, Classic B&W, Retro Pop, Organic Flow и Archimedean Mix быстро задают вид. Случайизируйте цвета или композицию, экспортируйте SVG или JSON, сохраните PNG или отправьте холст в редактор. Всё работает на вашем устройстве—ничего не загружается на серверы PictorX.

Часто задаваемые вопросы

Что такое тесселяция?

Тесселяция покрывает поверхность повторяющимися фигурами без зазоров и наложений. Правильные замощения используют один многоугольник; архимедовы смешивают правильные в фиксированном вершинном узоре.

Сколько правильных и архимедовых замощений?

Три правильных замощения (triangle, square, hexagon) и восемь архимедовых полуправильных. Tessellation включает все.

Что делает Edit edge?

Edit edge позволяет деформировать сторону квадрата или шестиугольника кубическими ручками. Edge pairing отражает эту деформацию на парной стороне через translate, glide или поворот на 180°, чтобы замощение по-прежнему замыкалось.

Как это связано с приложением M.C. Escher?

Tessellation—геометрический инструментарий: правильные и архимедовы решётки плюс деформация рёбер. M.C. Escher применяет родственные идеи к фигуративным мотивам (ящерицы, птицы, рыбы). Читайте More about M.C. Escher об истории искусства или откройте любой из мейкеров, чтобы экспериментировать.

Загружает ли PictorX мою тесселяцию?

Нет. Рисование, цвет и правка рёбер выполняются в браузере. Сохранение или экспорт только скачивает выбранный вами файл.