सेलुलर ऑटोमेटा
सेलुलर ऑटोमेटन एक असतत गणितीय मॉडल है: सेलों का एक ग्रिड, जिसमें हर सेल की एक निश्चित अवस्था होती है, जैसे जीवित या मृत। सभी सेल एक ही पल में अपनी अवस्था बदलते हैं, नियमों के एक तय समूह और अपने सीधे पड़ोसियों की अवस्थाओं के अनुसार। मूल नियम अक्सर बेहद सरल होते हैं, फिर भी उनसे जटिल, जैविक और अप्रत्याशित पैटर्न उग आते हैं।
चार मूल हिस्से
हर सेलुलर ऑटोमेटन उन्हीं चार हिस्सों से बनता है। ग्रिड वह जगह है जिसमें सेल रहते हैं। यह एक-आयामी रेखा, शतरंज की बिसात जैसा द्वि-आयामी समतल, या त्रि-आयामी स्थान भी हो सकता है। अवस्थाएँ वह हैं जो एक सेल हो सकता है। सबसे सरल स्थिति में सेल द्विआधारी होता है: काला या सफ़ेद, 1 या 0। पड़ोस उन सेलों का समूह है जो किसी सेल पर सीधे असर डालते हैं। वर्गाकार ग्रिड पर यह आमतौर पर मूर पड़ोस होता है, यानी आसपास के सभी आठ सेल, या वॉन न्यूमैन पड़ोस, यानी केवल उत्तर, पूर्व, दक्षिण और पश्चिम। नियम ऑटोमेटन का दिमाग़ हैं: वह तर्क जो हर सेल को उसकी नई अवस्था देता है। उदाहरण के लिए: अगर मैं जीवित हूँ लेकिन मेरे दो से कम जीवित पड़ोसी हैं, तो मैं अकेलेपन से मर जाता हूँ। हर सेल एक ही पल में एक जैसे नियम लागू करता है।
1. कॉनवे का गेम ऑफ़ लाइफ़
नियम: B3/S23। एक जीवित सेल 2 या 3 जीवित पड़ोसियों के साथ बचा रहता है। एक मृत सेल ठीक 3 के साथ जीवित हो उठता है। बाक़ी हर सेल अगली पीढ़ी में मृत होता है। जॉन कॉनवे ने इसे 1970 में बनाया, और Scientific American में मार्टिन गार्डनर के स्तंभ ने इसे प्रसिद्ध कर दिया। इसमें ग्लाइडर, ऑसिलेटर और स्पेसशिप बनते हैं। बिल गॉस्पर ने उसी साल पहली ग्लाइडर गन खोजी: एक पैटर्न जो हर 30 पीढ़ियों में एक नया ग्लाइडर दागता है, हमेशा के लिए। लाइफ़ गणना कर सकता है, क्योंकि ग्लाइडर संकेत ले जा सकते हैं और लॉजिक गेट की तरह टकरा सकते हैं। सबसे बढ़कर, यह दिखाता है कि सरल नियमों से जटिल व्यवहार कैसे उगता है।
2. नियम 30
प्रकार: एक-आयामी प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन। हर सेल की अगली अवस्था ख़ुद उस पर और उसके दो पड़ोसियों पर निर्भर करती है, और हर पीढ़ी पिछली पंक्ति के नीचे एक नई पंक्ति के रूप में बनाई जाती है। स्टीफ़न वोल्फ़्राम ने नियम 30 को 1983 में पेश किया। एक अकेले काले सेल से शुरू करें और यह एक अराजक त्रिभुज उगाता है। नियतात्मक नियम के बावजूद यह यादृच्छिक दिखता है, इतना कि इसके बीच के स्तंभ को छद्म-यादृच्छिक संख्या जनरेटर के रूप में इस्तेमाल किया गया है। इसी तरह के त्रिभुज Conus textile नामक समुद्री शंख के रंगद्रव्य में भी दिखते हैं।
3. नियम 110
प्रकार: नियम 30 की तरह एक-आयामी प्राथमिक सेलुलर ऑटोमेटन, लेकिन आठ उत्तरों की एक अलग तालिका के साथ। नियम 110 को गणनात्मक रूप से सार्वभौमिक सिद्ध किया जा चुका है: मैथ्यू कुक ने दिखाया कि उपयुक्त पहली पंक्ति के साथ यह कोई भी ऐसी गणना दोहरा सकता है जो एक सामान्य-उद्देश्य कंप्यूटर कर सकता है। इसमें चलती संरचनाएँ होती हैं जो एक दोहराती पृष्ठभूमि पर आगे बढ़ती हैं और मिलने पर परस्पर क्रिया करती हैं। प्रमाण इन्हीं टक्करों को अपने तर्क के रूप में इस्तेमाल करता है। यह दिखाता है कि बहुत सरल नियम मनचाही गणना की नकल कैसे कर सकते हैं।
4. Brian's Brain
अवस्थाएँ: बंद, चालू (फ़ायरिंग) और रिफ़्रैक्टरी। नियम: बंद सेल चालू हो जाता है अगर ठीक 2 पड़ोसी चालू हों। चालू सेल रिफ़्रैक्टरी हो जाता है। रिफ़्रैक्टरी सेल बंद हो जाता है। इसे ब्रायन सिल्वरमैन ने बनाया। क्योंकि फ़ायर करने के बाद सेल को एक पीढ़ी तक आराम करना पड़ता है, हर पल्स उस जगह से दूर बढ़ती रहती है जहाँ वह पहले थी। नतीजा स्व-चालित पैटर्नों की एक भीड़ है, जो तंत्रिका ऊतक या हृदय की मांसपेशी जैसे उत्तेजनीय माध्यमों में लहरों जैसी लगती है और अक्सर जीवित और जैविक दिखती है।
5. Wireworld
अवस्थाएँ: खाली, इलेक्ट्रॉन का सिर, इलेक्ट्रॉन की पूँछ और चालक। नियम: सिर पूँछ बन जाता है, पूँछ चालक बन जाती है, और चालक तब सिर बन जाता है जब उसके ठीक 1 या 2 पड़ोसी सिर हों। खाली सेल खाली रहते हैं। ब्रायन सिल्वरमैन ने ही 1987 में Wireworld भी बनाया। चालक सेल तार हैं, और जिस सिर के पीछे पूँछ हो, वह उन पर दौड़ता एक इलेक्ट्रॉन है। यह इलेक्ट्रॉनिक सर्किटों का सिमुलेशन कर सकता है: एक इलेक्ट्रॉन वाला तार का लूप एक क्लॉक है, एक छोटा खाँचा एक डायोड है, और कुछ सेल मिलकर एक लॉजिक गेट बनाते हैं। इसके भीतर पूरे कंप्यूटर बनाए गए हैं, जैसे डेविड मूर और मार्क ओवेन का Wireworld कंप्यूटर, जो अभाज्य संख्याएँ निकालता है।
वोल्फ़्राम के 256 नियम और चार वर्ग
दो पड़ोसियों वाला एक-आयामी सेल आठ पैटर्नों में से एक देखता है, 111 से लेकर 000 तक। एक नियम इनमें से हर एक के लिए नई अवस्था देता है, इसलिए वह आठ बिट का होता है, और कुल 2⁸ = 256 प्राथमिक नियम हैं। आठ उत्तरों को एक द्विआधारी संख्या की तरह पढ़ें तो आपको नियम का नाम मिलता है: नियम 30 का मतलब 00011110 है, और नियम 110 का मतलब 01101110। स्टीफ़न वोल्फ़्राम ने नियमों को उनके व्यवहार के अनुसार, व्यवस्था से अराजकता तक, छाँटा। 1. वर्ग 1 एक समरूप अवस्था में स्थिर हो जाता है। 2. वर्ग 2 स्थिर या दोहराती संरचनाओं में ठहर जाता है। 3. वर्ग 3 नियम 30 की तरह अराजक और यादृच्छिक-सा बना रहता है। 4. वर्ग 4 नियम 110 की तरह व्यवस्था और अराजकता की सीमा पर चलती और परस्पर क्रिया करती संरचनाएँ बनाता है।
कठिनाई क्रम
गेम ऑफ़ लाइफ़ ★☆☆☆☆ · नियम 30 ★☆☆☆☆ · Brian's Brain ★★☆☆☆ · Wireworld ★★★★☆ · नियम 110 ★★★★★। पहले दो देखते-देखते ख़ुद को समझा देते हैं। नियम 110 अपनी चलती संरचनाओं को एक दोहराती पृष्ठभूमि में छिपा लेता है।
दिखने में सबसे सुंदर
1. Brian's Brain · 2. कॉनवे का गेम ऑफ़ लाइफ़ · 3. नियम 30 · 4. नियम 110 · 5. Wireworld।
गणित की दृष्टि से सबसे महत्वपूर्ण
1. नियम 110, सार्वभौमिकता के लिए · 2. गेम ऑफ़ लाइफ़, सार्वभौमिकता और उद्भव के लिए · 3. नियम 30, अराजकता और यादृच्छिकता के लिए · 4. Wireworld, डिजिटल लॉजिक के लिए · 5. Brian's Brain, उत्तेजनीय प्रणालियों के लिए।
प्रकृति, भौतिकी और क्रिप्टोग्राफ़ी में
सेलुलर ऑटोमेटा का उपयोग प्रकृति, भौतिकी और क्रिप्टोग्राफ़ी की जटिल प्रणालियों का सिमुलेशन करने के लिए होता है। यह विचार 1940 के दशक में स्तानिस्वाफ़ उलम और जॉन वॉन न्यूमैन तक जाता है, जिन्होंने ख़ुद की नकल बना सकने वाली मशीन डिज़ाइन करने के लिए सेलों के ग्रिड का उपयोग किया। असल दुनिया में आप सेलुलर ऑटोमेटा कुछ शंखों के रंगद्रव्य में देख सकते हैं, जैसे Conus textile, जिसके त्रिभुज नियम 30 जैसे दिखते हैं, और ओसेलेटेड छिपकली (Timon lepidus) के शल्कों में, जो सेलुलर ऑटोमेटन के क़रीब के एक नियम से हरे और काले के बीच बदलते हैं। भौतिकविज्ञानी इनका उपयोग गैस के प्रवाह, रेत के ढेरों और जंगल की आग को मॉडल करने के लिए करते हैं। नियम 30 की दिखती यादृच्छिकता ने इसे यादृच्छिक संख्या जनरेटरों और स्ट्रीम सिफ़र के लिए एक उम्मीदवार बनाया।
PictorX में आज़माएँ
पाँचों को चलाने के लिए सेलुलर ऑटोमेटा खोलें। ग्लाइडर गन, स्पेसशिपों का बेड़ा, या R-पेंटोमिनो देखें, जिसे स्थिर होने में 1,103 पीढ़ियाँ लगती हैं। B36/S23 जैसा कोई भी लाइफ़ नियम, या 0 से 255 तक कोई भी प्राथमिक नियम संख्या लिखें। सेल बनाएँ और मिटाएँ, Wireworld सर्किटों में इलेक्ट्रॉन भेजें, किनारों को जोड़ें और रंगीन मोड पर जाएँ। PNG सहेजें या कैनवास को PictorX संपादक में खोलें।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
सेलुलर ऑटोमेटन क्या है?
सेलों का एक ग्रिड, जिसमें हर सेल की एक अवस्था होती है। हर टिक पर सभी सेल एक तय नियम से एक साथ अपडेट होते हैं, जो केवल एक सेल और उसके पड़ोसियों को देखता है। नियम सरल होने के बावजूद पैटर्न जटिल और अप्रत्याशित हो सकते हैं।
सेलुलर ऑटोमेटा का आविष्कार किसने किया?
स्तानिस्वाफ़ उलम और जॉन वॉन न्यूमैन ने, 1940 के दशक में लॉस एलामोस में। जॉन कॉनवे के गेम ऑफ़ लाइफ़ (1970) ने इस विचार को लोकप्रिय बनाया, और स्टीफ़न वोल्फ़्राम ने 1980 के दशक में 256 प्राथमिक नियमों का अध्ययन किया।
कौन-से सेलुलर ऑटोमेटा ट्यूरिंग-पूर्ण हैं?
यहाँ के पाँच में से नियम 110 और गेम ऑफ़ लाइफ़ सार्वभौमिक सिद्ध हो चुके हैं, और Wireworld में एक पूरा कंप्यूटर समा सकता है। सार्वभौमिक का अर्थ है कि सही शुरुआती पैटर्न के साथ वे कोई भी ऐसी गणना कर सकते हैं जो एक सामान्य-उद्देश्य कंप्यूटर कर सकता है।
वोल्फ़्राम के चार वर्ग कौन-से हैं?
वर्ग 1 बुझकर एक समरूप अवस्था में पहुँच जाता है, वर्ग 2 स्थिर या दोहराती संरचनाओं में ठहर जाता है, वर्ग 3 नियम 30 की तरह अराजक बना रहता है, और वर्ग 4 नियम 110 की तरह चलती, परस्पर क्रिया करती संरचनाएँ बनाता है।
नियम 30 यादृच्छिक क्यों दिखता है?
हर चरण तय है, लेकिन हर सेल अपने बाएँ पड़ोसी को बाक़ी दोनों के साथ इस तरह मिलाता है कि छोटे अंतर जल्दी फैल जाते हैं। इसके बीच के स्तंभ में अब तक कोई सरल पैटर्न नहीं मिला है, इसीलिए इसका उपयोग यादृच्छिक संख्याएँ बनाने के लिए किया गया है।
संबंधित टूल
सेलुलर ऑटोमेटा
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